در یک متوازی الاضلاع ، زوایا در مجاورت یک طرف قرار دارند. قضیه های پاراللوگرام. خلاصه و فرمول های اساسی

متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که اضلاع مخالف آن به صورت دوتایی موازی است. مساحت یک متوازی الاضلاع با ارتفاع آن (ساعت) برابر با محصول پایه آن (a) است. همچنین می توانید مساحت آن را از دو طرف و یک گوشه و از طریق مورب ها پیدا کنید.

خواص پاراللوگرام

1. طرف مقابل یکسان است

اولین قدم رسم مورب \\ (AC \\) است. دو مثلث بدست می آید: \\ (ABC \\) و \\ (ADC \\).

از آنجا که \\ (ABCD \\) یک متوازی الاضلاع است ، موارد زیر درست است:

\\ (AD || قبل از میلاد \\ Rightarrow \\ angle 1 \u003d \\ angle 2 \\) به صورت متقاطع دراز کشیده

\\ (AB || CD \\ Rightarrow \\ angle3 \u003d \\ angle 4 \\) به صورت متقاطع دراز کشیده

بنابراین ، (طبق معیار دوم: u \\ (AC \\) رایج است).

و این یعنی \\ (\\ مثلث ABC \u003d \\ مثلث ADC \\)، سپس \\ (AB \u003d CD \\) و \\ (AD \u003d BC \\).

2. زاویه های مقابل یکسان هستند

طبق شواهد خواص 1 ما آن را میدانیم \\ (\\ زاویه 1 \u003d \\ زاویه 2 ، \\ زاویه 3 \u003d \\ زاویه 4 \\)... بنابراین ، مجموع زاویه های مقابل: \\ (\\ زاویه 1 + \\ زاویه 3 \u003d \\ زاویه 2 + \\ زاویه 4 \\)... با توجه به اینکه \\ (\\ مثلث ABC \u003d \\ مثلث ADC \\) \\ (\\ زاویه A \u003d \\ زاویه C \\) ، \\ (\\ زاویه B \u003d \\ زاویه D \\) بدست می آوریم.

3. موربها با نقطه تقاطع دو نیم می شوند

توسط املاک 1 ما می دانیم که اضلاع مخالف یکسان هستند: \\ (AB \u003d CD \\). یک بار دیگر ، زاویه های مساوی متقاطع را علامت گذاری کنید.

بنابراین ، می توان مشاهده کرد که \\ (\\ مثلث AOB \u003d \\ مثلث COD \\) با معیار دوم برابری مثلث ها (دو گوشه و یک ضلع بین آنها). یعنی \\ (BO \u003d OD \\) (زاویه مخالف \\ (\\ زاویه 2 \\) و \\ (\\ زاویه 1 \\)) و \\ (AO \u003d OC \\) (زاویه مخالف \\ (\\ زاویه 3 \\) و \\ ( \\ زاویه 4 \\) به ترتیب)

علائم پاراللوگرام

اگر فقط یک ویژگی در وظیفه شما وجود داشته باشد ، بنابراین شکل یک متوازی الاضلاع است و می توانید از تمام خصوصیات این شکل استفاده کنید.

برای حفظ بهتر ، توجه داشته باشیم که علامت موازی به سوال زیر پاسخ می دهد - "چگونه می توان فهمید؟"... یعنی از کجا می دانید که یک شکل مشخص یک متوازی الاضلاع است.

1. متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که در آن دو طرف برابر و موازی هستند

\\ (AB \u003d CD \\) ؛ \\ (AB || CD \\ Rightarrow ABCD \\) - متوازی الاضلاع.

بیایید نگاهی دقیق تر بیندازیم. چرا \\ (AD || قبل از میلاد)؟

\\ (\\ مثلث ABC \u003d \\ مثلث ADC \\) توسط املاک 1: \\ (AB \u003d CD \\) ، \\ (\\ angle 1 \u003d \\ angle 2 \\) بصورت متقاطع بصورت موازی \\ (AB \\) و \\ (CD \\) و یکپارچه \\ (AC \\).

اما اگر \\ (\\ مثلث ABC \u003d \\ مثلث ADC \\)، سپس \\ (\\ زاویه 3 \u003d \\ زاویه 4 \\) (در مقابل \\ (AD || قبل از میلاد \\) (\\ (\\ زاویه 3 \\) و \\ (\\ زاویه 4 \\) - به صورت ضربدری نیز برابر هستند)).

اولین علامت صحیح است.

2. متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که در آن اضلاع مخالف برابر هستند

\\ (AB \u003d CD \\) ، \\ (AD \u003d BC \\ Rightarrow ABCD \\) - متوازی الاضلاع.

این ویژگی را در نظر بگیرید. دوباره مورب \\ (AC \\) را رسم کنید.

توسط املاک 1\\ (\\ مثلث ABC \u003d \\ مثلث ACD \\).

نتیجه می شود که: \\ (\\ angle 1 \u003d \\ angle 2 \\ Rightarrow AD || BC \\) و \\ (\\ angle 3 \u003d \\ angle 4 \\ Rightarrow AB || CD \\)، یعنی ، \\ (ABCD \\) یک متوازی الاضلاع است.

علامت دوم صحیح است.

3. متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که در آن زاویه های مخالف برابر هستند

\\ (\\ angle A \u003d \\ angle C \\) ، \\ (\\ angle B \u003d \\ angle D \\ Rightarrow ABCD \\) - متوازی الاضلاع.

\\ (2 \\ alpha + 2 \\ beta \u003d 360 ^ (\\ circ) \\) (از آنجا که \\ (\\ زاویه A \u003d \\ زاویه C \\) ، \\ (\\ زاویه B \u003d \\ زاویه D \\) به شرط)).

معلوم شد اما \\ (\\ alpha \\) و \\ (\\ beta \\) درونی با یک طرفه \\ (AB \\) هستند.

و چی \\ (\\ alpha + \\ beta \u003d 180 ^ (\\ circ) \\) همچنین می گوید که \\ (AD || قبل از میلاد).

و دوباره این س :ال: آیا لوزی یک متوازی الاضلاع است یا خیر؟

بسیار خوب - یک موازی ، زیرا دارای و (ویژگی 2 ما را بخاطر بسپار).

و دوباره ، از آنجا که لوزی یک متوازی الاضلاع است ، بنابراین باید تمام خصوصیات یک متوازی الاضلاع را داشته باشد. این بدان معنی است که گوشه های مخالف الماس مساوی هستند ، اضلاع مخالف موازی هستند و مورب ها در نقطه تقاطع نصف می شوند.

خواص الماس

به تصویر نگاه کن:

همانطور که در مورد مستطیل وجود دارد ، این خصوصیات متمایز هستند ، یعنی برای هر یک از این خصوصیات ، می توان نتیجه گرفت که ما فقط یک موازی ، بلکه یک لوزی نداریم.

علائم لوزی

و دوباره توجه کنید: باید فقط یک چهار ضلعی با موربهای عمود وجود نداشته باشد ، بلکه یک موازی نیز وجود داشته باشد. اطمینان حاصل کنید:

البته نه ، اگرچه موربهای آن عمود هستند و مورب نیم نیم گوشه ها و. اما ... مورب ها به نقطه تقاطع به نصف تقسیم نمی شوند ، بنابراین - نه موازی ، و بنابراین نه لوزی.

یعنی یک مربع همزمان مستطیل و لوزی است. بذار ببینیم چه اتفاقی میافتد.

مشخص است چرا؟ - لوزی - نیمساز زاویه A ، که برابر است با. بنابراین در کنار هم (و همچنین) به دو زاویه تقسیم می شود.

خوب ، کاملاً واضح است: مورب مستطیل برابر است ؛ مورب های لوزی عمود هستند و به طور کلی - مورب های موازی با نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند.

سطح میانی

خواص چهار گوش. متوازی الاضلاع

خواص پاراللوگرام

توجه! کلمات " خصوصیات متوازی الاضلاع"یعنی اگر وظیفه ای دارید وجود دارد متوازی الاضلاع ، سپس می توان از همه موارد زیر استفاده کرد.

قضیه خصوصیات یک متوازی الاضلاع.

در هر موازی:

بیایید درک کنیم که چرا همه اینها درست است ، به عبارت دیگر ما اثبات خواهیم کرد قضیه

پس چرا 1) درست است؟

هنگامی که یک متوازی الاضلاع است ، پس:

دراز کشیده
همانطور که آن طرف خوابیده است.

از این رو ، (با توجه به ویژگی II: و - مشترک.)

خوب ، و یک بار ، پس - همین! - ثابت.

اما اتفاقاً! در این مورد ، ما نیز ثابت کردیم 2)!

چرا؟ اما بعد از همه (به تصویر نگاه کنید) ، یعنی ، به این دلیل.

فقط 3 نفر باقی مانده است).

برای انجام این کار ، شما هنوز باید مورب دوم را بکشید.

و اکنون می بینیم که - طبق ویژگی II (زاویه و ضلع "بین" آنها).

خصوصیات اثبات شده! بیایید به ویژگی ها برویم.

علائم پاراللوگرام

به یاد بیاورید که ویژگی متوازی الاضلاع به این سوال پاسخ می دهد که "چگونه می توان شناخت؟" که یک شکل یک متوازی الاضلاع است.

در آیکون ها اینگونه است:

چرا؟ خوب است که دلیل آن را بفهمیم - کافی است. اما نگاه کن:

خوب ، ما فهمیدیم که چرا علامت 1 درست است.

خوب ، این حتی راحت تر است! دوباره یک مورب رسم کنید.

این یعنی:

وهمچنین آسان است. اما ... به روشی دیگر!

از این رو ، وای! بلکه - داخلی یک طرفه با سکانس!

بنابراین ، این واقعیت به این معنی است که.

و اگر از طرف دیگر نگاه کنید ، پس - داخلی یک طرفه با یک ثبات! و بنابراین.

ببینید چقدر عالی است؟!

و دوباره ، به سادگی:

به طور مشابه ، و.

توجه کنید: اگر پیدا کردی حداقل یک علامت متوازی الاگرام در مشکل شما وجود دارد ، پس دارید دقیقا متوازی الاضلاع و شما می توانید استفاده کنید توسط همه خصوصیات متوازی الاضلاع.

برای وضوح کامل ، به نمودار نگاه کنید:

خواص چهار گوش. مستطیل

خواص مستطیل:

نکته 1) کاملاً واضح است - بالاخره ویژگی 3 ()

و نکته 2) - خیلی مهم... بنابراین ، بگذارید این را ثابت کنیم

بنابراین ، روی دو پا (و - مشترک).

خوب ، از آنجا که مثلث ها برابر هستند ، پس هایپوتنوس آنها نیز برابر هستند.

ثابت شده که!

و تصور کنید ، برابری موربها یک ویژگی متمایز از یک مستطیل در میان همه متوازی الاضلاع است. یعنی عبارت زیر درست است ^

بگذارید بفهمیم چرا؟

این به معنای (منظور از زاویه های متوازی الاضلاع) است. اما بیایید یک بار دیگر به یاد بیاوریم که این یک متوازی الاضلاع است و بنابراین.

از این رو ، و البته از اینجا نتیجه می شود که هر کدام متفاوت هستند! به هر حال ، آنها باید در کل بدهند!

بنابراین آنها ثابت کردند که اگر متوازی الاضلاع به طور ناگهانی (!) موربهای برابر وجود خواهد داشت ، پس این دقیقاً مستطیل.

ولی! توجه کنیداین در مورد است متوازی الاضلاع! هیچی یک چهار ضلعی با مورب برابر یک مستطیل است ، و فقط متوازی الاضلاع!

خواص چهار گوش. لوزی

و دوباره این س :ال: آیا لوزی یک متوازی الاضلاع است یا خیر؟

به درستی - یک متوازی الاضلاع ، زیرا دارای و (ویژگی 2 ما را بخاطر بسپار).

اما خواص خاصی نیز وجود دارد. فرمول بندی می کنیم.

خواص الماس

چرا؟ خوب ، از آنجا که لوزی یک متوازی الاضلاع است ، بنابراین مورب های آن نصف می شود.

چرا؟ بله ، چون!

به عبارت دیگر ، معلوم شد که موربها نیمساز گوشه های لوزی هستند.

همانند مستطیل ، این خصوصیات عبارتند از: متمایز، هر یک از آنها نیز نشانه لوزی است.

نشانه های لوزی.

چرا؟ و نگاه کن

از این رو ، و هر دواین مثلث ها متساوی الاضلاع هستند.

برای اینکه لوزی باشد ، چهار ضلعی ابتدا باید "متوازی الاضلاع" شود و سپس باید علامت 1 یا علامت 2 را نشان دهد.

خواص چهار گوش. مربع

یعنی یک مربع همزمان مستطیل و لوزی است. بذار ببینیم چه اتفاقی میافتد.

مشخص است چرا؟ مربع - لوزی - نیمساز زاویه ، که برابر است با. بنابراین در کنار هم (و همچنین) به دو زاویه تقسیم می شود.

چرا؟ خوب ، فقط قضیه فیثاغورث را به کار ببرید.

فرمولهای خلاصه و اساسی

خصوصیات پاراللوگرام:

طرف مقابل برابر است: ،.
زاویه های مقابل برابر هستند: ،.
زاویه ها در یک طرف جمع می شوند: ،.
مورب ها توسط نقطه تقاطع نصف می شوند:.

خواص مستطیل:

مورب مستطیل عبارتند از:.
مستطیل - متوازی الاضلاع (برای مستطیل تمام خصوصیات متوازی الاضلاع تکمیل شده است).

خواص الماس:

مورب های لوزی عمود هستند:.
مورب های لوزی نیم رسان زاویه های آن است: ؛ ؛ ...
Rhombus - متوازی الاضلاع (برای لوزی ، تمام خصوصیات متوازی الاضلاع تکمیل شده است).

ویژگی های مربع:

مربع همزمان لوزی و مستطیل است ، بنابراین ، تمام خصوصیات مستطیل و لوزی برای یک مربع برآورده می شود. و

تعریف

متوازی الاضلاع چهار ضلعی نامیده می شود که اضلاع مخالف آن به صورت جفتی موازی است.

نقطه تقاطع موربهای موازی آن را نامیده می شود مرکز.

خصوصیات پاراللوگرام:

مجموع هر دو زاویه متوازی الاضلاع مجاور $ 180 ^ (\\ circ) $ است ، و زاویه های مقابل برابر هستند.
اضلاع مخالف یک موازی برابر هستند.
مورب های موازی با هم تلاقی می کنند و توسط نقطه تقاطع نصف می شوند.

شواهد و مدارک

اجازه دهید یک نمودار متوازی $ ABCD $ داده شود.

1. توجه داشته باشید که گوشه های مجاور $ A $ و $ B $ یک موازی داخلی برای خطوط موازی $ AD $ و $ BC $ و یک $ AB $ یک طرفه داخلی هستند ، یعنی مبلغ آنها $ 180 ^ $ دلار است. به طور مشابه برای جفت های دیگر زاویه.

اگر $ \\ angle A + \\ angle B \u003d 180 ^ \\ circ $ و $ \\ angle C + \\ angle B \u003d 180 ^ \\ circ $ ، سپس $ \\ angle A \u003d \\ angle C $. به همین ترتیب ، $ \\ angle B \u003d \\ angle D $.

2. مثلث های $ ABC $ و $ CDA $ را در نظر بگیرید. از موازی بودن اضلاع مخالف موازی ، نتیجه می شود که $ \\ angle BAC \u003d \\ angle DCA $ and $ \\ angle BCA \u003d \\ angle DAC $. از آنجا که $ AC $ معمول است ، مثلث $ ABC $ و $ CDA $ در ویژگی دوم برابر هستند. از برابری مثلث ها بدست می آید که $ AB \u003d CD $ و $ BC \u003d AD $.

3. از آنجا که متوازی الاضلاع چهار ضلعی محدب است ، موربهای آن با هم تلاقی می یابند. بگذارید $ O $ نقطه تقاطع باشد. از موازی بودن اضلاع $ BC $ و $ AD $ از متوازی الاضلاع نتیجه می شود که $ \\ angle OAD \u003d \\ angle OCB $ و $ \\ angle ODA \u003d \\ angle OBC $. با توجه به برابری $ BC \u003d AD $ ، به این نتیجه می رسیم که مثلث $ AOD $ و $ COB $ در معیار دوم برابر است. بنابراین ، $ AO \u003d CO $ و $ DO \u003d BO $ ، در صورت لزوم.

علائم پاراللوگرام:

اگر مجموع هر دو زاویه مجاور در یک چهار ضلعی $ 180 ^ (\\ دایره) $ باشد ، این چهار ضلعی یک موازی است.
اگر در چهار ضلعی زوایای مخالف از نظر جفتی برابر باشند ، این چهار ضلعی یک متوازی الاضلاع است.
اگر در یک چهار ضلعی اضلاع مخالف به صورت جفتی برابر باشند ، پس این چهار ضلعی یک متوازی الاضلاع است.
اگر در چهار ضلعی دو طرف برابر و موازی باشند ، این چهار ضلعی یک متوازی الاضلاع است.
اگر مورب های یک چهار ضلعی در نقطه تقاطع آنها نصف شود ، پس این چهار ضلعی یک موازی است.

شواهد و مدارک

اجازه دهید یک چهار ضلعی $ ABCD $ داده شود.

1. توجه داشته باشید که گوشه های مجاور $ A $ و $ B $ داخلی هستند برای خطوط $ AD $ و $ BC $ و $ AB $ مستقل. از آنجا که مجموع آنها برابر با $ 180 ^ \\ circ $ است ، خطوط مستقیم $ AD $ و $ BC $ با هم موازی هستند. به طور مشابه برای یک جفت خط دیگر ، یعنی ، ABCD $ یک تعریف متوازی است.

2. توجه داشته باشید که $ \\ angle A + \\ angle B + \\ angle C + \\ angle D \u003d 360 ^ \\ circ $. اگر $ \\ angle A \u003d \\ angle C $ و $ \\ angle B \u003d \\ angle D $ ، سپس $ \\ angle A + \\ angle B \u003d 180 ^ \\ circ $ و به همین ترتیب برای جفت های دیگر زاویه مجاور. بعد ، ما از علامت قبلی استفاده می کنیم.

3. مثلث های $ ABC $ و $ CDA $ را در نظر بگیرید. از آنجا که AC $ $ معمول است ، از برابری اضلاع مخالف متوازی الاضلاع نتیجه می شود که مثلث $ ABC $ و $ CDA $ با معیار سوم برابر هستند. بنابراین ، $ \\ angle BAC \u003d \\ angle DCA $ و $ \\ angle BCA \u003d \\ angle DAC $ ، که به معنی موازی بودن اضلاع مخالف است.

4- بگذارید $ BC $ و $ AD $ برابر و موازی باشند. مثلث $ ABC $ و $ CDA $ را در نظر بگیرید. از موازی بودن خطوط مستقیم چنین بر می آید که $ \\ angle BCA \u003d \\ angle DAC $. از آنجا که $ AC $ معمول است و $ BC \u003d AD $ ، مثلث $ ABC $ و $ CDA $ در ویژگی اول برابر هستند. بنابراین ، $ AB \u003d CD $. بعد ، ما از علامت قبلی استفاده می کنیم.

5- بگذارید $ O $ نقطه تلاقی مورب ها و $ AO \u003d CO $ و $ DO \u003d BO $ باشد. با در نظر گرفتن برابری زاویه های عمودی ، به این نتیجه می رسیم که مثلث $ AOD $ و $ COB $ در ویژگی اول برابر هستند. بنابراین ، $ \\ angle OAD \u003d \\ angle OCB $ ، که به معنای موازی بودن $ BC $ و $ AD $ است. به همین ترتیب برای جفت دیگر طرفین.

تعریف

چهار ضلعی با سه زاویه راست گفته می شود مستطیل

خواص مستطیل:

مورب مستطیل برابر است.

شواهد و مدارک

اجازه دهید یک مستطیل $ ABCD $ داده شود. از آنجا که مستطیل یک متوازی الاضلاع است ، اضلاع مخالف آن برابر است. سپس مثلث های قائم الزاویه $ ABD $ و $ DCA $ در دو پایه برابر هستند ، از این رو $ BD \u003d AC $ به دست می آید.

ویژگی های مستطیل:

اگر یک متوازی الاضلاع دارای یک زاویه راست باشد ، پس این متوازی الاضلاع یک مستطیل است.
اگر مورب های موازی الاضلاع مساوی باشد ، این متوازی الاضلاع مستطیل است.

شواهد و مدارک

1. اگر یکی از زاویه های متوازی الاضلاع یک خط مستقیم باشد ، پس با در نظر گرفتن اینکه مجموع زاویه های مجاور برابر با 180 $ ^ (\\ circ) $ است ، به دست می آوریم که زاویه های دیگر نیز خطوط مستقیم هستند.

2. اجازه دهید مورب های $ AC $ و $ BD $ در موازی اکران $ ABCD $ برابر باشند. با در نظر گرفتن برابری اضلاع مخالف $ AB $ و $ DC $ ، به این نتیجه می رسیم که مثلث $ ABD $ و $ DCA $ با معیار سوم برابر است. بنابراین ، $ \\ angle BAD \u003d \\ angle CDA $ ، یعنی خطوط مستقیمی هستند. باقی مانده است که از ویژگی قبلی استفاده کنید.

تعریف

چهار ضلعی که در آن همه طرفها برابر هستند ، نامیده می شود لوزی

خواص الماس:

مورب های لوزی متقابلاً عمود بوده و نیم گوشه های آن هستند.

شواهد و مدارک

بگذارید در لوزی $ ABCD $ مورب $ AC $ و $ BD $ در نقطه $ O $ به هم برسند. از آنجا که لوزی یک متوازی الاضلاع است ، $ AO \u003d OC $. یک مثلث متساوی الاضلاع $ ABC $ را در نظر بگیرید. از آنجا که $ AO $ میانه پایه است ، نیمساز و ارتفاع است ، همان چیزی که لازم بود.

علائم الماس:

اگر مورب های یک متوازی الاضلاع به طور متقابل عمود باشند ، پس این متوازی الاضلاع یک لوزی است.
اگر مورب یک متوازی الاضلاع نیمساز زاویه آن باشد ، پس این متوازی الاضلاع یک لوزی است.

شواهد و مدارک

بگذارید در موازی اریب $ ABCD $ مورب $ AC $ و $ BD $ در نقطه $ O $ به هم برسند. یک مثلث $ ABC $ در نظر بگیرید.

1. اگر مورب ها عمود باشند ، $ BO $ میانه و ارتفاع مثلث است.

2. اگر $ BD $ مورب شامل نیمساز زاویه $ ABC $ باشد ، $ BO $ میانه و نیمساز مثلث است.

در هر دو حالت به این نتیجه می رسیم که مثلث $ ABC $ متساوی الاضلاع است و در متوازی الاضلاع اضلاع مجاور برابر هستند. بنابراین ، بنا به ضرورت ، لوزی است.

تعریف

مستطیلی که دو ضلع مجاور آن برابر باشد ، نامیده می شود مربع.

علائم یک مربع:

اگر لوزی زاویه قائمه داشته باشد ، آن لوزی یک مربع است.
اگر مورب های لوزی برابر باشد ، این لوزی یک مربع است.

شواهد و مدارک

اگر یک متوازی الاضلاع دارای زاویه راست باشد یا برابر با مورب باشد ، آنگاه یک مستطیل است. اگر چهار ضلعی مستطیل و لوزی باشد ، یک مربع است.

همانطور که در هندسه اقلیدسی ، نقطه و خط عناصر اصلی تئوری صفحات هستند ، بنابراین متوازی الاضلاع یکی از چهره های اصلی چهار ضلعی های محدب است. از آن ، مانند رشته های یک توپ ، مفاهیم "مستطیل" ، "مربع" ، "لوزی" و سایر مقادیر هندسی جریان می یابد.

در تماس با

تعریف موازی

چهار ضلعی محدب ، متشکل از بخشهای خط ، که هر جفت آن موازی است ، در هندسه به عنوان متوازی الاضلاع شناخته می شود.

شکل موازی کلاسیک به نظر می رسد چهار ضلعی ABCD را نشان می دهد. به اضلاع قاعده (AB ، BC ، CD و AD) گفته می شود ، عمود کشیده شده از هر راس به طرف مقابل این راس ارتفاع (BE و BF) است ، خطوط AC و BD مورب هستند.

توجه! مربع ، لوزی و مستطیل موارد خاصی از متوازی الاضلاع هستند.

کناره ها و گوشه ها: ویژگی های نسبت

خصوصیات کلیدی ، به طور کلی ، از قبل توسط خود تعیین تعیین شده است، آنها با قضیه ثابت می شوند. این خصوصیات به شرح زیر است:

اضلاع مخالف به صورت جفت یکسان هستند.
زوایای واقع در مقابل یکدیگر به صورت جفت برابر هستند.

اثبات: ∆ABC و ∆ADC را در نظر بگیرید که با تقسیم چهار ضلعی ABCD به خط AC بدست می آیند. ∠BCA \u003d ∠CAD و ∠BAC \u003d ∠ACD ، زیرا AC در آنها معمول است (به ترتیب زاویه های عمودی برای CD || AD و AB || CD). از این نتیجه می گیرد: ∆ABC \u003d ∆ADC (دومین علامت برابری مثلث ها).

بخشهای AB و BC در ∆ABC به صورت جفت با خطوط CD و AD در ∆ADC مطابقت دارند ، به این معنی که یکسان هستند: AB \u003d CD ، BC \u003d AD. بنابراین ∠B با ∠D مطابقت دارد و آنها برابر هستند. از آنجا که ∠A \u003d ∠BAC + ∠CAD ، ∠C \u003d ∠BCA + ∠ACD که به صورت جفتی یکسان هستند ، پس A \u003d C. ملک ثابت شده است.

مشخصات موربهای شکل

ویژگی اصلیاین خطوط موازی: نقطه تقاطع آنها را به نصف تقسیم می کند.

اثبات: بگذارید m E نقطه تلاقی موربهای AC و BD شکل ABCD باشد. آنها دو مثلث متناسب - ∆ABE و ∆CDE تشکیل می دهند.

AB \u003d CD همانطور که در مقابل هم هستند. با توجه به خطوط و secant ، ∠ABE \u003d ∠CDE و ∠BAE \u003d DCE.

طبق معیار برابری دوم ∆ABE \u003d ∆CDE. این بدان معنی است که عناصر ∆ABE و ∆CDE عبارتند از: AE \u003d CE ، BE \u003d DE ، و در عین حال آنها قطعات متناسب AC و BD هستند. ملک ثابت شده است.

ویژگی های گوشه های مجاور

اضلاع مجاور دارای زاویه 180 درجه هستندهمانطور که در یک طرف خطوط موازی قرار می گیرند و یک ثانیه هستند. برای چهار ضلعی ABCD:

∠A + ∠B \u003d ∠C + ∠D \u003d ∠A + ∠D \u003d ∠B + ∠C \u003d 180º

ویژگی های Bisector:

به یک طرف افتاده عمود هستند؛
رئوس مخالف دارای نیمسازهای موازی هستند.
مثلثی که با رسم نیمساز بدست می آید ، یک ضرب خواهد بود.

تعیین خصوصیات مشخصه یک متوازی الاضلاع توسط قضیه

ویژگی های این شکل از قضیه اصلی آن ناشی می شود که به شرح زیر است: چهار ضلعی یک موازی در نظر گرفته شده استدر صورت قطع موربهای آن ، و این نقطه آنها را به بخشهای مساوی تقسیم می کند.

اثبات: بگذارید در نقطه E خطوط AC و BD چهارضلعی ABCD قطع شود. از آنجا که ∠AED \u003d ∠BEC ، و AE + CE \u003d AC BE + DE \u003d BD ، پس AED \u003d ∆BEC (با اولین علامت برابری مثلث ها). یعنی ∠EAD \u003d ∠ECB. آنها همچنین زاویه های مقطع داخلی AC برای خطوط AD و BC هستند. بنابراین ، با تعریف موازی کاری - AD || قبل از میلاد مسیح. ویژگی مشابهی از خطوط BC و CD نیز نمایش داده می شود. قضیه اثبات شده است.

محاسبه مساحت یک شکل

مساحت این رقم با چندین روش پیدا می شود ،یکی از ساده ترین ها: ضرب ارتفاع و پایه ای که به آن کشیده شده است.

اثبات: عمودهای BE و CF را از رئوس B و C ترسیم کنید. ∆ABE و ∆DCF برابر هستند ، زیرا AB \u003d CD و BE \u003d CF. اندازه ABCD با مستطیل EBCF برابر است ، زیرا آنها همچنین از ارقام متناسب تشکیل شده اند: S ABE و S EBCD ، و همچنین S DCF و S EBCD. از این نتیجه می شود که مساحت این شکل هندسی به همان شکل مستطیل یافت می شود:

S ABCD \u003d S EBCF \u003d BE × BC \u003d BE × AD.

برای تعیین فرمول کلی برای مساحت یک متوازی الاضلاع ، ارتفاع را به این صورت نشان می دهیم hbو طرف است ب... به ترتیب:

راه های دیگر برای یافتن منطقه

محاسبات منطقه از طریق اضلاع موازی و زاویهکه آنها تشکیل می دهند دومین روش شناخته شده است.

Sпр-ma - منطقه ؛

a و b اضلاع آن هستند

α زاویه بین بخشهای a و b است.

این روش عملاً مبتنی بر روش اول است ، اما در صورت ناشناخته بودن. همیشه یک مثلث قائم الزاویه را قطع می کند ، پارامترهای آن با هویت های مثلثاتی پیدا می شوند ، یعنی. با تبدیل رابطه ، به دست می آوریم. در معادله روش اول ، ارتفاع را با این محصول جایگزین کنید و اثبات صحت این فرمول را بدست آورید.

از طریق مورب های موازی و زاویه ، که آنها هنگام عبور ایجاد می کنند ، شما همچنین می توانید منطقه را پیدا کنید.

اثبات: AC و BD با هم تلاقی می کنند و چهار مثلث تشکیل می دهند: ABE ، BEC ، CDE و AED. مجموع آنها برابر با مساحت این چهار ضلعی است.

مساحت هر یک از اینها را می توان با عبارتی یافت ، جایی که a \u003d BE ، b \u003d AE ، ∠γ \u003d ∠AEB. از آن زمان ، یک مقدار سینوسی واحد در محاسبات استفاده می شود. یعنی از آنجا که AE + CE \u003d AC \u003d d 1 و BE + DE \u003d BD \u003d d 2 ، فرمول مساحت به زیر کاهش می یابد:

کاربردها در جبر برداری

ویژگی های اجزای تشکیل دهنده این چهار ضلعی در جبر برداری کاربرد دارد ، یعنی افزودن دو بردار. قانون متوازی الاضلاع بیان می کند که اگر بردارهای داده شده و نه خطی ، سپس مجموع آنها برابر با مورب این شکل است که پایه های آن با این بردارها مطابقت دارد.

اثبات: از ابتدای انتخاب خودسرانه - یعنی - ما بردارها را می سازیم و. بعد ، ما یک OACB موازی درست می کنیم ، جایی که بخش های OA و OB ضلع هستند. بنابراین سیستم عامل بر روی یک بردار یا جمع قرار دارد.

فرمول های محاسبه پارامترهای متوازی الاضلاع

هویت تحت شرایط زیر داده می شود:

a و b ، α - اضلاع و زاویه بین آنها ؛
d 1 و d 2 ، γ - مورب ها و در نقطه تقاطع آنها ؛
h a و h b - ارتفاعات پایین به دو طرف a و b ؛

پارامتر	فرمول
یافتن احزاب
در امتداد مورب ها و کسینوس زاویه بین آنها
مورب و کناری
از طریق ارتفاع و راس مقابل
یافتن طول مورب ها
در امتداد کناره ها و اندازه تاپ های بین آنها
در کناره ها و یکی از مورب ها	نتیجه متوازی الاضلاع ، به عنوان یکی از چهره های اصلی هندسه ، در محاسبه مساحت یک قطعه یا سایر اندازه گیری ها ، در زندگی کاربرد دارد ، به عنوان مثال ، در ساخت و ساز. بنابراین ، دانش در مورد ویژگی های متمایز و روش های محاسبه پارامترهای مختلف آن می تواند در هر زمان از زندگی مفید باشد.