علاوه بر عملیات جمع و تفریق بردارها و همچنین ضرب یک بردار در یک اسکالر (نگاه کنید به

علاوه بر عملیات جمع و تفریق بردارها، و همچنین ضرب یک بردار در یک اسکالر (نگاه کنید به §2)، عملیات ضرب بردارها نیز وجود دارد. دو بردار را می توان به دو روش در یکدیگر ضرب کرد: روش اول منجر به بردار جدید می شود، روش دوم منجر به یک کمیت اسکالر می شود. توجه داشته باشید که عملیات تقسیم بردار بر بردار وجود ندارد.

اکنون به محصول بخش بردارها نگاه خواهیم کرد. حاصل ضرب اسکالر بردارها را بعداً در صورت نیاز معرفی خواهیم کرد.

حاصلضرب بردار دو بردار A و B بردار C است که دارای خواص زیر است:

1) مدول بردار C برابر است با حاصل ضرب مدول بردارهای ضرب شده و سینوس زاویه α بین آنها (شکل 35):

2) بردار C عمود بر صفحه ای است که بردارهای A و B در آن قرار دارند و جهت آن مطابق با قانون پیچ سمت راست به جهت های A و B مربوط می شود: اگر به بردار C توجه کنید، چرخش در کوتاه ترین مسیر انجام می شود. از فاکتور اول تا دوم فلش جهت عقربه های ساعت است.

به طور نمادین، حاصلضرب برداری را می توان به دو صورت نوشت:

|AB | یا .

ما از اولین روش استفاده خواهیم کرد و گاهی برای سهولت خواندن فرمول ها بین فاکتورها کاما قرار می دهیم. شما نباید از صلیب مورب و براکت مربع به طور همزمان استفاده کنید: [А В] نوع زیر مجاز نیست: [АВ]=ABsi nα. در سمت چپ اینجا یک بردار است، در سمت راست مدول این بردار است، یعنی یک اسکالر. برابری زیر درست است:

از آنجایی که جهت حاصلضرب متقاطع با جهت چرخش از عامل اول به عامل دوم تعیین می شود، نتیجه ضرب برداری دو بردار به ترتیب عوامل بستگی دارد. تغییر ترتیب عوامل باعث تغییر جهت بردار حاصل به سمت مخالف می شود (شکل 35)

بنابراین، حاصلضرب برداری خاصیت جابجایی را ندارد.

می توان ثابت کرد که حاصلضرب برداری توزیعی است، یعنی آن

حاصلضرب متقاطع دو بردار قطبی یا دو بردار محوری یک بردار محوری است. حاصل ضرب یک بردار محوری و یک بردار قطبی (یا بالعکس) با این حال، یک بردار قطبی خواهد بود. تغییر شرطی که جهت بردارهای محوری را به سمت مخالف تعیین می کند، در این حالت منجر به تغییر علامت جلوی حاصلضرب بردار و در عین حال تغییر علامت در مقابل یکی از عوامل می شود. در نتیجه، مقدار بیان شده توسط محصول برداری بدون تغییر باقی می ماند.

ماژول محصول برداری را می توان یک تفسیر هندسی ساده ارائه داد: عبارت ABsi nα از نظر عددی برابر است با مساحت متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارهای A و B (شکل 36؛ بردار C = [AB] در این مورد عمود است. به صفحه طراحی، فراتر از نقاشی).

بگذارید بردارهای A و B بر یکدیگر عمود باشند (شکل 37).

بیایید یک حاصل ضرب برداری دوگانه از این بردارها تشکیل دهیم:

یعنی بردار B را در A ضرب می کنیم و سپس بردار A را در بردار حاصل از ضرب اول ضرب می کنیم. بردار [VA] دارای مدول برابر است ، و با بردارهای A و B زوایایی برابر با π/2 تشکیل می دهد. بنابراین مدول بردار D برابر با |A |*||=A *BA =A 2 B است. جهت بردار D همانطور که به راحتی از شکل 1 قابل مشاهده است. 37، با جهت بردار B منطبق است. این به ما دلیلی می دهد تا برابری زیر را بنویسیم:

در آینده بیش از یک بار از فرمول (11.3) استفاده خواهیم کرد. ما تأکید می کنیم که فقط در موردی معتبر است که بردارهای A و B بر یکدیگر عمود باشند.

معادله (10.9) ارتباط بین قدر بردارهای v و ω را برقرار می کند. با استفاده از حاصلضرب برداری می توان عبارتی نوشت که رابطه بین خود بردارها را نشان می دهد. اجازه دهید بدن حول محور z با سرعت زاویه ای ω بچرخد (شکل 38). به راحتی می توان فهمید که حاصلضرب بردار ω توسط بردار شعاع نقطه ای که می خواهیم سرعت آن v را پیدا کنیم، برداری است که در جهت با بردار v منطبق است و مدول آن برابر با ωr sinα =ωR است، یعنی. v [نگاه کنید به فرمول (10.9)]. بنابراین، حاصلضرب بردار [ωR ] در هر دو جهت و قدر با بردار v برابر است:

v=[ω]

فرمول (11.4) را می توان شکل متفاوتی داد. برای انجام این کار، بردار شعاع r را به عنوان مجموع دو جزء تصور کنید - یک بردار r z موازی با محور z و یک بردار عمود بر محور z: r = r z + R (نگاه کنید به شکل 38). جایگزینی این عبارت به فرمول (11.4) و بهره گیری از قابلیت توزیع حاصلضرب بردار [نگاه کنید به (11.2)]، دریافت می کنیم:

بردارهای ω و r z هم خط هستند. بنابراین حاصل ضرب برداری آنها برابر با صفر است (sinα=0). بنابراین، ما می توانیم آن را بنویسیم

در آینده، هنگام در نظر گرفتن حرکت دورانی، همیشه مولفه بردار شعاع r را که از نقطه ای بر روی محور عمود بر محور چرخش گرفته شده است، با R نشان خواهیم داد. مدول این بردار فاصله R نقطه از محور را نشان می دهد.

بیایید ارتباط بین بردارهای j (بردار چگالی جریان) و E (قدرت میدان) را در همان نقطه هادی پیدا کنیم. از آنجایی که در یک هادی همسانگرد حامل های جریان در هر نقطه در جهت بردار E حرکت می کنند، جهات j و E بر هم منطبق هستند. ولتاژ اعمال شده به انتهای هادی برابر با Edl و مقاومت آن است. جریان I کل جریان عبوری از S - سطح مقطع هادی است. سپس جریان dI جریان عبوری از ناحیه ابتدایی dS است. جایگزینی این عبارات در فرمول. بیایید آن را بنویسیم. .

اسلاید 12 از ارائه "مقاومت هادی"برای درس های فیزیک با موضوع "مقاومت"

ابعاد: 720 x 540 پیکسل، فرمت: jpg. برای دانلود یک اسلاید رایگان برای استفاده در درس فیزیک، روی تصویر کلیک راست کرده و روی "ذخیره تصویر به عنوان..." کلیک کنید. شما می توانید کل ارائه "Resistance.ppt" را در یک آرشیو فشرده 66 کیلوبایتی دانلود کنید.

دانلود ارائه

مقاومت

"علم فیزیک" - فیزیک به عنوان یک علم. قدمت علم فیزیک به یونانیان باستان در قرن پنجم قبل از میلاد برمی گردد. پدیده های صوتی ماده موضوع. پدیده های الکتریکی پدیده های فیزیکی فلسفه. پدیده های الکتریکی برهمکنش بارهای الکتریکی، رعد و برق است. مولکول آب ارتباطات فیزیک آنقدر متنوع است که گاهی اوقات مردم آنها را نمی بینند.

"آبرام فدوروویچ آیوف" - آیوف در سمیناری در مورد فیزیک نیمه هادی ها. موسسه فیزیک و فناوری. موسسه فیزیک و فناوری. موسسه پلی تکنیک. شاکلی و جوفه ساختمان دانشگاه مونیخ آیوف در ساخت موسسه فیزیکوتکنیکی سیکلوترون. یکی از آخرین عکس های آیوف. کاپیتسا در کمبریج عکس از کاپیتسا. A. Ioffe و هموطنش S. Timoshenko از دانشجویان موسسات سنت پترزبورگ هستند.

"تاریخ الکتریسیته" - قرن 21 - انرژی الکتریکی سرانجام به بخشی جدایی ناپذیر از زندگی تبدیل شده است. قرن نوزدهم - فارادی القای الکترومغناطیسی و قوانین الکترولیز را کشف کرد. معلوم است که اگر مواد خاصی به پشم مالیده شود، اجسام سبک را جذب می کند. قرن نوزدهم - ماکسول معادلات خود را فرموله می کند. آثار ژول، لنز، اهم در مطالعه جریان الکتریکی.

"القای مغناطیسی" - نیروی آمپر. خواص اصلی میدان مغناطیسی فعل و انفعالات بین هادی های حامل جریان را مغناطیسی می گویند. جهت نیروی آمپر را می توان با استفاده از قانون سمت چپ تعیین کرد. میدان مغناطیسی توسط جریان الکتریکی (بارهای متحرک) ایجاد می شود. میدان مغناطیسی در واقع مستقل از ما و دانش ما در مورد آن وجود دارد.

"پراکندگی ذرات" - کنتراست در پراکندگی اشعه ایکس. گربه ناوبر. شعاع اینرسی و ثابت اصطکاک انتقالی. شعاع چرخش یک ذره کروی همگن به شعاع r0 آن مربوط می شود. شعاع چرخش و ویسکوزیته ذاتی. تغییر کنتراست با استفاده از روش مخلوط H2O/D2O. چگالی پراکندگی حلال

اجازه دهید V – n- فضای برداری بعدی که در آن دو پایه داده می شود: ه 1 , ه 2 , …, e n- پایه قدیمی، ه" 1 , ه" 2 , …, ه"n- پایه جدید برای یک بردار دلخواه آدر هر یک از آنها مختصاتی وجود دارد:

آ= a 1 ه 1 + a 2 ه 2 + … + الف n e n;

آ= a" 1 ه"1 + a" 2 ه"2 + … + a" n e"n.

به منظور ایجاد رابطه بین ستون های مختصات برداری آدر مبانی قدیم و جدید، باید بردارهای پایه جدید را به بردارهای پایه قدیمی گسترش داد:

ه"1 = a 11 ه 1 + یک 21 ه 2 + … + الف n 1 e n,

ه"2 = a 12 ه 1 + a 22 ه 2 + … + الف n 2 e n,

………………………………..

ه"n= a 1 n ه 1 + a 2 n ه 2 + … + الف nn e n.

تعریف 8.14. ماتریس گذار از پایه قدیمی به پایه جدیدماتریسی متشکل از مختصات بردارهای پایه جدید نسبت به پایه قدیمی است که در ستون ها نوشته شده است.

ستون های ماتریسی تی- اینها مختصات پایه و در نتیجه بردارهای مستقل خطی هستند، بنابراین، این ستونها به صورت خطی مستقل هستند. ماتریسی با ستون‌های مستقل خطی غیر منفرد است، تعیین کننده آن برابر با صفر نیست و برای ماتریس تییک ماتریس معکوس وجود دارد تی –1 .

اجازه دهید ستون های مختصات برداری را مشخص کنیم آدر پایگاه های قدیم و جدید به ترتیب [ آ] و [ آ]". با استفاده از ماتریس انتقال، ارتباط بین [ آ] و [ آ]".

قضیه 8.10.ستون مختصات برداری آدر پایه قدیمی برابر است با حاصلضرب ماتریس انتقال و ستون مختصات برداری آدر یک مبنای جدید، یعنی [ آ] = تی[آ]".

نتیجه. ستون مختصات برداری آدر مبنای جدید برابر است با حاصلضرب ماتریس معکوس ماتریس گذار و ستون مختصات برداری آدر مبنای قدیمی، یعنی [ آ]" = تی –1 [آ].

مثال 8.8.یک ماتریس انتقال از پایه ایجاد کنید ه 1 , ه 2، به پایه ه" 1 , ه"2 کجا ه" 1 = 3ه 1 + ه 2 , ه" 2 = 5ه 1 + 2ه 2 و مختصات بردار را پیدا کنید آ = 2ه" 1 – 4ه"2 در پایه قدیمی.

راه حل. مختصات بردارهای پایه جدید نسبت به پایه قدیمی سطرهای (3، 1) و (5، 2) و سپس ماتریس هستند. تیشکل خواهد گرفت. زیرا [ آ]" =، سپس [ آ] = × = .

مثال 8.9.دو پایه داده شده است ه 1 , ه 2- پایه قدیمی ه" 1 , ه"2 یک مبنای جدید است، و ه" 1 = 3ه 1 + ه 2 , ه" 2 = 5ه 1 + 2ه 2. مختصات برداری را پیدا کنید آ = 2ه 1 – ه 2 در پایه جدید.

راه حل. 1 راه. با شرط، مختصات بردار داده شده است آدر پایه قدیمی: [ آ] = بیایید ماتریس انتقال را از پایه قدیمی پیدا کنیم ه 1 , ه 2 به پایه جدید ه" 1 , ه«2. بیایید ماتریس را دریافت کنیم تی= برای آن ماتریس معکوس را پیدا می کنیم تی-1 = . سپس، با توجه به نتیجه قضیه 8.10، ما [ آ]" = تی –1 [آ] = × = .

روش 2.زیرا ه" 1 , ه"2 مبنا، سپس بردار آبه بردارهای پایه به شرح زیر گسترش می یابد آ = ک 1 ه" 1 – ک 2 ه 2. بیایید اعداد را پیدا کنیم ک 1 و ک 2- اینها مختصات بردار خواهند بود آبر مبنای جدید

آ = ک 1 ه" 1 – ک 2 ه" 2 = ک 1 (3ه 1 + ه 2) – ک 2 (5ه 1 + 2ه 2) =

= ه 1 (3ک 1 + 5ک 2) + ه 2 (ک 1 + 2ک 2) = 2ه 1 – ه 2 .

از آنجایی که مختصات همان بردار در یک مبنای معین به طور منحصر به فرد تعیین می شود، سیستم را داریم: حل این سیستم، به دست می آوریم ک 1 = 9 و ک 2 = -5، بنابراین. [ آ]" = .

ωn = υ 2

با جایگزینی υ از (10.9) به این عبارت، متوجه می شویم که

ωn = ω2 R

مدول شتاب مماسی مطابق با (9.8) برابر است با

دوباره با استفاده از معادله (10.9)، به دست می آوریم:

(ω R)

t→ 0

ωτ = βR

(10.10) d dt υ . استفاده از فرصت

Rβ،

بنابراین، هم شتاب عادی و هم شتاب مماسی به صورت خطی با R - فاصله نقطه از محور چرخش افزایش می یابد.

§ یازده. رابطه بین بردارهای v و ω

اکنون به محصول بخش بردارها نگاه خواهیم کرد. حاصل ضرب اسکالر بردارها را بعداً در صورت نیاز معرفی خواهیم کرد.

حاصلضرب بردار دو بردار A و B بردار C است که دارای خواص زیر است:

1) مدول بردار C برابر است با حاصل ضرب مدول بردارهای ضرب شده و سینوس زاویه α بین آنها (شکل 35):

به طور نمادین، حاصلضرب برداری را می توان به دو صورت نوشت: |AB| یا A×B.

ما از اولین روش استفاده خواهیم کرد و گاهی برای سهولت خواندن فرمول ها بین فاکتورها کاما قرار می دهیم. شما نباید از صلیب مورب و براکت مربع به طور همزمان استفاده کنید: [A×B] نوع زیر مجاز نیست: [AB]=ABsinα. در سمت چپ اینجا یک بردار است، در سمت راست مدول این بردار است، یعنی یک اسکالر. برابری زیر معتبر است:

| [ AB] |= ABsin α .

= −

B× A = - (A × B).

بنابراین، حاصلضرب برداری خاصیت جابجایی را ندارد. می توان ثابت کرد که حاصلضرب برداری توزیعی است، یعنی آن

[A,(B1 + B2 + ...+ BN )] = [ AB1 ] + [ AB2 ] + ...+ [ ABN ] .

ماژول محصول برداری را می توان یک تفسیر هندسی ساده ارائه داد: عبارت ABsinα از نظر عددی برابر با مساحت متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارهای A و B است (شکل 36؛ بردار C = [AB] در این مورد عمود بر آن است. صفحه طراحی، فراتر از نقاشی).

بگذارید بردارهای A و B بر یکدیگر عمود باشند (شکل 37).

1) ، و با

بیایید یک حاصل ضرب برداری دوگانه از این بردارها تشکیل دهیم:

D = A، [BA]،

یعنی بردار B را در A ضرب می کنیم و سپس بردار A را در بردار حاصل از ضرب اول ضرب می کنیم. بردار [VA] مدولی برابر با BA (sin α = sin π 2) دارد

زوایای A و B برابر با π/2 است. در نتیجه، بزرگی بردار D برابر است با |A|*||=A*BA=A2 B. جهت بردار D، همانطور که به راحتی از شکل 1 قابل مشاهده است. 37، با جهت بردار B منطبق است. این به ما دلیلی می دهد تا برابری زیر را بنویسیم:

			A2 B.

معادله (10.9) ارتباط بین قدر بردارهای v و ω را برقرار می کند. با استفاده از حاصلضرب برداری می توان عبارتی نوشت که رابطه بین خود بردارها را نشان می دهد. اجازه دهید بدن حول محور z با سرعت زاویه ای ω بچرخد (شکل 38). به راحتی می توان دید که حاصلضرب بردار ω با بردار شعاع نقطه ای که می خواهیم سرعت آن v را پیدا کنیم، برداری است که در جهت با بردار v منطبق است و مدول آن برابر با ωr sinα=ωR است، یعنی. v [نگاه کنید به فرمول (10.9)]. بنابراین، حاصلضرب برداری [ωR] هم از نظر جهت و هم از نظر قدر با بردار v برابر است.

طول یک بردار، زاویه بین بردارها - این مفاهیم به طور طبیعی در هنگام تعریف یک بردار به عنوان قسمتی از یک جهت خاص قابل اجرا و شهودی هستند. در زیر نحوه تعیین زاویه بین بردارها در فضای سه بعدی، کسینوس آن و در نظر گرفتن تئوری با استفاده از مثال ها را خواهیم آموخت.

برای در نظر گرفتن مفهوم زاویه بین بردارها، اجازه دهید به یک تصویر گرافیکی بپردازیم: بیایید دو بردار a → و b → را در یک صفحه یا در فضای سه بعدی تعریف کنیم که غیر صفر هستند. اجازه دهید یک نقطه دلخواه O را نیز تعیین کنیم و بردارهای O A → = b → و O B → = b → را از آن رسم کنیم.

تعریف 1

زاویهبین بردارهای a → b → زاویه بین پرتوهای O A و O B است.

زاویه حاصل را به صورت زیر نشان می دهیم: a → , b → ^

بدیهی است که زاویه می تواند مقادیری از 0 تا π یا از 0 تا 180 درجه داشته باشد.

a → , b → ^ = 0 وقتی بردارها هم جهت هستند و a → , b → ^ = π وقتی بردارها جهت مخالف هستند.

تعریف 2

بردارها نامیده می شوند عمود بر، اگر زاویه بین آنها 90 درجه یا π 2 رادیان باشد.

اگر حداقل یکی از بردارها صفر باشد، زاویه a → , b → ^ تعریف نمی شود.

کسینوس زاویه بین دو بردار، و در نتیجه خود زاویه، معمولاً می‌تواند با استفاده از حاصل ضرب اسکالر بردارها یا با استفاده از قضیه کسینوس برای مثلثی که از دو بردار معین ساخته شده است، تعیین شود.

طبق تعریف، حاصل ضرب اسکالر a → , b → = a → b → · cos a → , b → ^ است.

اگر بردارهای داده شده a → و b → غیر صفر باشند، می توانیم سمت راست و چپ تساوی را بر حاصلضرب طول این بردارها تقسیم کنیم، بنابراین فرمولی برای یافتن کسینوس زاویه بین غیر صفر به دست می آوریم. بردارهای صفر:

cos a → , b → ^ = a → , b → a → b →

این فرمول زمانی استفاده می شود که داده منبع شامل طول بردارها و حاصل ضرب اسکالر آنها باشد.

مثال 1

داده های اولیه: بردارهای a → و b →. طول آنها به ترتیب 3 و 6 است و حاصل ضرب اسکالر آنها - 9 است. باید کسینوس زاویه بین بردارها را محاسبه کرد و خود زاویه را یافت.

راه حل

داده های اولیه برای اعمال فرمول به دست آمده در بالا کافی است، سپس cos a → , b → ^ = - 9 3 6 = - 1 2 ,

حالا بیایید زاویه بین بردارها را تعیین کنیم: a → , b → ^ = a r c cos (- 1 2) = 3 π 4

پاسخ: cos a →، b → ^ = - 1 2، a →، b → ^ = 3 π 4

اغلب مشکلاتی وجود دارد که بردارها با مختصات در یک سیستم مختصات مستطیلی مشخص می شوند. برای چنین مواردی لازم است همان فرمول اما به صورت مختصات استخراج شود.

طول یک بردار به عنوان جذر مجذور مجذور مختصات آن تعریف می شود و حاصل ضرب اسکالر بردارها برابر با مجموع حاصلضرب مختصات مربوطه است. سپس فرمول برای یافتن کسینوس زاویه بین بردارها در صفحه a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) به صورت زیر است:

cos a → , b → ^ = a x b x + a y b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

و فرمول یافتن کسینوس زاویه بین بردارها در فضای سه بعدی a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) به این صورت خواهد بود: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

مثال 2

داده های اولیه: بردارهای a → = (2، 0، - 1)، b → = (1، 2، 3) در یک سیستم مختصات مستطیلی شکل. تعیین زاویه بین آنها ضروری است.

راه حل

برای حل مشکل، می توانیم بلافاصله فرمول را اعمال کنیم:

cos a → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 1 2 + 2 2 + 3 2 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos (- 1 70) = - a r c cos 1 70

همچنین می توانید با استفاده از فرمول زاویه را تعیین کنید:

cos a → , b → ^ = (a → , b →) a → b →

اما ابتدا طول بردارها و حاصل ضرب اسکالر را با مختصات محاسبه کنید: a → = 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 = - 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = - 1 5 14 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = - a r c cos 1 70

پاسخ: a →، b → ^ = - a r c cos 1 70

همچنین در مواردی که مختصات سه نقطه در یک سیستم مختصات مستطیل شکل داده می شود و لازم است زاویه ای مشخص شود، کارهایی رایج هستند. و سپس برای تعیین زاویه بین بردارها با مختصات نقاط داده شده، باید مختصات بردارها را به عنوان اختلاف بین نقاط متناظر ابتدا و انتهای بردار محاسبه کرد.

مثال 3

داده های اولیه: نقاط A (2، - 1)، B (3، 2)، C (7، - 2) در یک سیستم مختصات مستطیلی بر روی صفحه آورده شده است. تعیین کسینوس زاویه بین بردارهای A C → و B C → ضروری است.

راه حل

بیایید مختصات بردارها را از مختصات نقاط داده شده پیدا کنیم A C → = (7 - 2, - 2 - (- 1)) = (5, - 1) B C → = (7 - 3, - 2 - 2) = (4، - 4)

اکنون از فرمول برای تعیین کسینوس زاویه بین بردارها در یک صفحه در مختصات استفاده می کنیم: cos A C → , B C → ^ = (A C → , B C →) A C → · B C → = 5 · 4 + (- 1) · (- 4) 5 2 + (- 1) 2 4 2 + (- 4) 2 = 24 26 32 = 3 13

پاسخ: cos A C → , B C → ^ = 3 13

زاویه بین بردارها را می توان با استفاده از قضیه کسینوس تعیین کرد. اجازه دهید بردارهای O A → = a → و O B → = b → را از نقطه O کنار بگذاریم، سپس، با توجه به قضیه کسینوس در مثلث O A B، برابری درست خواهد بود:

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B) ,

که معادل است با:

b → - a → 2 = a → + b → - 2 a → b → cos (a → , b →) ^

و از اینجا فرمول کسینوس زاویه را بدست می آوریم:

cos (a → , b →) ^ = 1 2 a → 2 + b → 2 - b → - a → 2 a → b →

برای اعمال فرمول به دست آمده به طول بردارها نیاز داریم که به راحتی از روی مختصات آنها قابل تعیین است.

اگرچه این روش انجام می شود، اما همچنان از فرمول بیشتر استفاده می شود:

cos (a → , b →) ^ = a → , b → a → b →

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید