تفاوت مکعب و مکعب: قوانینی برای اعمال فرمول های ضرب اختصاری. فرمول های ضرب اختصاری تفاوت مکعب ها و فرمول های مجموع آنها

فرمول ها یا قواعد ضرب کاهش یافته در حساب و به طور خاص در جبر برای فرآیند سریعتر محاسبه عبارات جبری بزرگ استفاده می شود. خود فرمول ها از قوانین موجود در جبر برای ضرب چند جمله ای مشتق شده اند.

استفاده از این فرمول ها راه حل نسبتاً سریعی برای مسائل مختلف ریاضی ارائه می دهد و همچنین به ساده سازی عبارات کمک می کند. قوانین تبدیل های جبری به شما امکان می دهد برخی از دستکاری ها را با عبارات انجام دهید، به دنبال آن می توانید عبارت سمت چپ برابری را که در سمت راست است به دست آورید یا سمت راست برابری را تبدیل کنید (برای دریافت عبارت در سمت چپ بعد از علامت مساوی).

دانستن فرمول های مورد استفاده برای ضرب اختصاری در حافظه راحت است، زیرا اغلب در حل مسائل و معادلات استفاده می شود. فرمول های اصلی موجود در این لیست و نام آنها در زیر آمده است.

مجموع مربع

برای محاسبه مجذور حاصل، باید مجموع حاصل از مجذور جمله اول، دو برابر حاصل ضرب اولین جمله و دوم و مجذور دومی را پیدا کنید. این قانون در قالب یک عبارت به صورت زیر نوشته می شود: (a + c)² = a² + 2ac + c².

مربع تفاوت

برای محاسبه مجذور اختلاف، باید مجموع مجذور عدد اول، دو برابر حاصل ضرب عدد اول در عدد دوم (که با علامت مخالف گرفته می شود) و مجذور عدد دوم را محاسبه کنید. این قانون در قالب یک عبارت به نظر می رسد: (a - c)² \u003d a² - 2ac + c².

تفاوت مربع ها

فرمول تفاضل دو عدد مجذور برابر است با حاصل ضرب مجموع این اعداد و اختلاف آنها. این قانون در قالب یک عبارت به نظر می رسد: a² - c² \u003d (a + c) (a - c).

مکعب جمع

برای محاسبه مکعب مجموع دو جمله، باید مجموع مکعب جمله اول را سه برابر حاصل ضرب مجذور جمله اول و دومی، حاصل ضرب سه برابری جمله اول و دوم را محاسبه کنید. مربع، و مکعب جمله دوم. در قالب یک عبارت، این قانون به این صورت است: (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

مجموع مکعب ها

با توجه به فرمول، برابر است با حاصل جمع این جمله ها و مجذور ناقص اختلاف آنها. در قالب یک عبارت، این قانون به این صورت است: a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²).

مثال.باید حجم شکل را که با اضافه کردن دو مکعب تشکیل می شود محاسبه کرد. فقط بزرگی اضلاع آنها مشخص است.

اگر مقادیر طرفین کوچک باشد، انجام محاسبات آسان است.

اگر طول اضلاع با اعداد دست و پا گیر بیان شود، در این صورت استفاده از فرمول "مجموع مکعب ها" آسان تر است، که محاسبات را بسیار ساده می کند.

مکعب تفاوت

عبارت اختلاف مکعب به این صورت است: به عنوان مجموع توان سوم جمله اول، حاصلضرب منفی مجذور جمله اول را در دومی، سه برابر حاصل ضرب اولین جمله اول را در مجذور دومی سه برابر کنید. ، و مکعب منفی جمله دوم. در قالب یک عبارت ریاضی، مکعب تفاوت به این صورت است: (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

تفاوت مکعب ها

فرمول تفاوت مکعب ها با مجموع مکعب ها فقط یک علامت متفاوت است. بنابراین، تفاوت مکعب ها فرمولی است برابر حاصلضرب اختلاف این اعداد با مجذور ناقص مجموع آنها. در شکل، تفاوت مکعب ها به این صورت است: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).

مثال.باید حجم شکلی را که پس از کم کردن عدد حجمی زرد که یک مکعب است از حجم مکعب آبی باقی می ماند محاسبه کرد. فقط اندازه ضلع یک مکعب کوچک و بزرگ مشخص است.

اگر مقادیر طرفین کوچک باشد، محاسبات بسیار ساده است. و اگر طول اضلاع به اعداد قابل توجهی بیان شود، ارزش استفاده از فرمولی با عنوان "تفاوت مکعب ها" (یا "مکعب تفاوت") را دارد که محاسبات را بسیار ساده می کند.

فرمول ضرب مختصر

مطالعه فرمول های ضرب اختصاری: مربع مجموع و مربع تفاضل دو عبارت. تفاوت مربع های دو عبارت؛ مکعب مجموع و مکعب اختلاف دو عبارت; مجموع و تفاوت مکعب های دو عبارت.

استفاده از فرمول ضرب اختصاری هنگام حل مثال.

برای ساده سازی عبارات، فاکتورسازی چندجمله ای ها و کاهش چندجمله ای ها به فرم استاندارد، از فرمول های ضرب اختصاری استفاده می شود. فرمول های ضرب اختصاری که باید از روی قلب بدانید.

بگذارید a، b R. سپس:

1. مجذور مجموع دو عبارت استمربع عبارت اول به اضافه دو برابر حاصل ضرب عبارت اول و دومی به علاوه مربع عبارت دوم.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. مربع اختلاف دو عبارت استمربع عبارت اول منهای دو برابر حاصل ضرب عبارت اول و دومی به اضافه مربع عبارت دوم.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. تفاوت مربع هادو عبارت برابر است با حاصلضرب تفاضل این عبارات و مجموع آنها.

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

4. مکعب جمعاز دو عبارت برابر است با مکعب عبارت اول به اضافه سه برابر مربع عبارت اول ضربدر دوم به علاوه سه برابر حاصلضرب عبارت اول ضربدر مربع دوم به علاوه مکعب عبارت دوم.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. مکعب تفاوتاز دو عبارت برابر است با مکعب عبارت اول منهای سه برابر حاصل ضرب مجذور عبارت اول و دومی به علاوه سه برابر حاصلضرب عبارت اول و مربع دومی منهای مکعب عبارت دوم.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. مجموع مکعب هادو عبارت برابر است با حاصل ضرب مجموع عبارت اول و دوم در مجذور ناقص اختلاف این عبارات.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. تفاوت مکعب هادو عبارت برابر است با حاصل ضرب اختلاف عبارت اول و دوم در مجذور ناقص مجموع این عبارات.

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

استفاده از فرمول ضرب اختصاری هنگام حل مثال.

مثال 1

محاسبه

الف) با استفاده از فرمول مجذور مجموع دو عبارت، داریم

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

ب) با استفاده از فرمول مجذور اختلاف دو عبارت بدست می آوریم

98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604

مثال 2

محاسبه

با استفاده از فرمول اختلاف مربعات دو عبارت به دست می آوریم

مثال 3

ساده سازی بیان

(x - y) 2 + (x + y) 2

از فرمول های مجذور مجموع و مجذور تفاضل دو عبارت استفاده می کنیم

(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2

فرمول ضرب اختصاری در یک جدول:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

تفاوت مربع ها

ما فرمول تفاوت مربع های $a^2-b^2$ را استخراج می کنیم.

برای انجام این کار، قانون زیر را به خاطر بسپارید:

اگر یک تک جمله ای به عبارت اضافه شود و همان یک جمله کم شود، هویت صحیح به دست می آید.

بیایید به عبارت خود اضافه کنیم و یک جمله $ab$ را از آن کم کنیم:

در مجموع به دست می آوریم:

یعنی تفاضل مجذورات دو تک جمله برابر حاصلضرب تفاضل و مجموع آنهاست.

مثال 1

به صورت حاصلضرب $(4x)^2-y^2$ بیان کنید

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\چپ(2x-y\راست)(2x+y)\]

مجموع مکعب ها

ما فرمول مجموع مکعب های $a^3+b^3$ را استخراج می کنیم.

بیایید عوامل رایج را از پرانتز خارج کنیم:

بیایید $\left(a+b\right)$ را از پرانتز خارج کنیم:

در مجموع به دست می آوریم:

یعنی مجموع مکعب‌های دو تک‌جمعی برابر است با حاصل جمع آنها در مجذور ناقص اختلاف آنها.

مثال 2

به عنوان یک محصول $(8x)^3+y^3$ بیان کنید

این عبارت را می توان به شکل زیر بازنویسی کرد:

\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]

با استفاده از فرمول تفاضل مربعات، به دست می آوریم:

\[((2x))^3+y^3=\چپ(2x+y\راست)(4x^2-2xy+y^2)\]

تفاوت مکعب ها

ما فرمول تفاوت مکعب های $a^3-b^3$ را استخراج می کنیم.

برای این کار از همان قانون فوق استفاده می کنیم.

بیایید به عبارت خود اضافه کنیم و مونومی های $a^2b\ و\ (ab)^2$ را از آن کم کنیم:

بیایید عوامل رایج را از پرانتز خارج کنیم:

بیایید $\left(a-b\right)$ را از پرانتز خارج کنیم:

در مجموع به دست می آوریم:

یعنی تفاضل مکعب های دو تک جمله برابر حاصل ضرب اختلاف آنها در مجذور ناقص مجموع آنهاست.

مثال 3

به صورت حاصلضرب $(8x)^3-y^3$ بیان کنید

این عبارت را می توان به شکل زیر بازنویسی کرد:

\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]

با استفاده از فرمول تفاضل مربعات، به دست می آوریم:

\[((2x))^3-y^3=\چپ(2x-y\راست)(4x^2+2xy+y^2)\]

نمونه ای از کارها برای استفاده از فرمول های تفاضل مربع ها و مجموع و تفاضل مکعب ها

مثال 4

تکثیر کردن.

الف) $((a+5))^2-9$

ج) $-x^3+\frac(1)(27)$

راه حل:

الف) $((a+5))^2-9$

\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]

با استفاده از فرمول تفاوت مربع ها، به دست می آوریم:

\[((a+5))^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a +8)\]

بیایید این عبارت را به شکل زیر بنویسیم:

بیایید فرمول مکعب های مکعب را اعمال کنیم:

ج) $-x^3+\frac(1)(27)$

بیایید این عبارت را به شکل زیر بنویسیم:

\[-x^3+\frac(1)(27)=(\left(\frac(1)(3)\راست))^3-x^3\]

بیایید فرمول مکعب های مکعب را اعمال کنیم:

\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\راست)\]

فرمول ضرب اختصاری (FSU) برای نشان دادن و ضرب اعداد و عبارات استفاده می شود. اغلب این فرمول ها به شما امکان می دهد محاسبات را فشرده تر و سریع تر انجام دهید.

در این مقاله، فرمول های اصلی ضرب اختصاری را فهرست می کنیم، آنها را در جدولی گروه بندی می کنیم، نمونه هایی از استفاده از این فرمول ها را در نظر می گیریم و همچنین به اصول اثبات فرمول های ضرب اختصاری می پردازیم.

برای اولین بار مبحث FSU در درس «جبر» پایه هفتم در نظر گرفته شده است. در زیر 7 فرمول اساسی آورده شده است.

فرمول ضرب مختصر

1. فرمول مجموع مربع: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. فرمول مربع تفاوت: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
3. فرمول مکعب جمع: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. فرمول مکعب تفاوت: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. فرمول تفاوت مربع ها: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
6. فرمول مجموع مکعب ها: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
7. فرمول تفاوت مکعب: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2

حروف a، b، c در این عبارات می توانند هر عدد، متغیر یا عبارتی باشند. برای سهولت در استفاده، بهتر است هفت فرمول اصلی را به صورت زنده یاد بگیرید. ما آنها را در یک جدول خلاصه می کنیم و آنها را در زیر می دهیم و آنها را با یک جعبه دور می زنیم.

چهار فرمول اول به شما امکان می دهد به ترتیب مربع یا مکعب مجموع یا اختلاف دو عبارت را محاسبه کنید.

فرمول پنجم اختلاف مجذور عبارات را با ضرب مجموع و اختلاف آنها محاسبه می کند.

فرمول ششم و هفتم به ترتیب ضرب مجموع و تفاضل عبارات در مجذور ناقص تفاضل و مجذور ناقص مجموع است.

گاهی اوقات به فرمول ضرب اختصاری هویت های ضرب اختصاری نیز می گویند. این تعجب آور نیست، زیرا هر برابری یک هویت است.

هنگام حل مثال های عملی، فرمول های ضرب اختصاری اغلب با قسمت های چپ و راست بازآرایی شده استفاده می شود. این به ویژه هنگام فاکتورگیری یک چند جمله ای راحت است.

فرمول های ضرب اختصاری اضافی

ما خود را به درس جبر کلاس هفتم محدود نمی کنیم و چند فرمول دیگر را به جدول FSU خود اضافه می کنیم.

ابتدا فرمول دو جمله ای نیوتن را در نظر بگیرید.

a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 + . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n

در اینجا C n k ضرایب دو جمله ای هستند که در خط شماره n در مثلث پاسکال قرار دارند. ضرایب دو جمله ای با فرمول محاسبه می شود:

C nk = n ! ک! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

همانطور که می بینید، FSU برای مربع و مکعب اختلاف و مجموع یک مورد خاص از فرمول دوجمله ای نیوتن برای n=2 و n=3 است.

اما اگر بیش از دو ترم در مجموع برای افزایش قدرت وجود داشته باشد چه؟ فرمول مجذور مجموع سه، چهار یا چند جمله مفید خواهد بود.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

فرمول دیگری که ممکن است به کارتان بیاید، فرمول تفاوت توان های n دو جمله است.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

این فرمول معمولاً به دو فرمول تقسیم می شود - به ترتیب برای درجات زوج و فرد.

برای نماهای زوج 2 متر:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 متر - 2

برای نماهای فرد 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 متر

فرمول های تفاضل مربع ها و تفاضل مکعب ها، درست حدس زدید، موارد خاص این فرمول به ترتیب برای n=2 و n=3 هستند. برای تفاوت مکعب ها، b نیز با - b جایگزین می شود.

چگونه فرمول ضرب اختصاری را بخوانیم؟

برای هر فرمول فرمول های مربوطه را می دهیم، اما ابتدا به اصل خواندن فرمول ها می پردازیم. ساده ترین راه برای انجام این کار با یک مثال است. بیایید اولین فرمول مجذور مجموع دو عدد را در نظر بگیریم.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

می گویند: مجذور مجموع دو عبارت a و b برابر است با مجذور عبارت اول، دو برابر حاصل ضرب عبارت ها و مجذور عبارت دوم.

همه فرمول های دیگر به طور مشابه خوانده می شوند. برای اختلاف مجذور a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 می نویسیم:

مجذور اختلاف دو عبارت a و b برابر است با مجموع مجذورات این عبارات منهای دو برابر حاصل ضرب عبارت اول و دوم.

بیایید فرمول a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 را بخوانیم. مکعب مجموع دو عبارت a و b برابر است با مجموع مکعب های این عبارات، سه برابر حاصل ضرب مجذور عبارت اول و دوم و سه برابر حاصل ضرب مربع عبارت دوم. و اولین عبارت

ما به خواندن فرمول تفاوت مکعب های a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 ادامه می دهیم. مکعب اختلاف دو عبارت a و b برابر است با مکعب عبارت اول منهای سه برابر مربع عبارت اول و دوم به اضافه سه برابر مربع عبارت دوم و عبارت اول منهای مکعب. از عبارت دوم

فرمول پنجم a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (تفاوت مربعات) به این صورت است: تفاوت مربعات دو عبارت برابر است با حاصلضرب تفاوت و مجموع دو عبارت.

عباراتی مانند a 2 + a b + b 2 و a 2 - a b + b 2 برای سهولت به ترتیب مربع ناقص مجموع و مربع ناقص اختلاف نامیده می شوند.

با در نظر گرفتن این موضوع، فرمول های حاصل از مجموع و تفاضل مکعب ها به صورت زیر خوانده می شود:

مجموع مکعب های دو عبارت برابر است با حاصل ضرب مجموع این عبارات و مجذور ناقص اختلاف آنها.

تفاوت مکعب های دو عبارت برابر است با حاصل ضرب اختلاف این عبارات در مجذور ناقص مجموع آنها.

اثبات FSU

اثبات FSU بسیار ساده است. بر اساس ویژگی های ضرب، ضرب اجزای فرمول ها را در پرانتز انجام می دهیم.

به عنوان مثال، فرمول مربع اختلاف را در نظر بگیرید.

a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

برای بالا بردن یک عبارت به توان دوم، عبارت باید در خودش ضرب شود.

a - b 2 \u003d a - b a - b.

بیایید براکت ها را گسترش دهیم:

a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

فرمول ثابت شده است. سایر FSO ها نیز به همین ترتیب ثابت شده اند.

نمونه هایی از کاربرد FSO

هدف از استفاده از فرمول‌های ضرب کاهش‌یافته، ضرب سریع و مختصر عبارات و افزایش قدرت است. با این حال، این تمام محدوده FSO نیست. آنها به طور گسترده ای در کاهش عبارات، کاهش کسرها، فاکتورگیری چند جمله ای ها استفاده می شوند. بیایید مثال بزنیم.

مثال 1. FSO

بیایید عبارت 9 y - (1 + 3 y) 2 را ساده کنیم.

فرمول مجموع مربع ها را اعمال کنید و بدست آورید:

9 سال - (1 + 3 سال) 2 = 9 سال - (1 + 6 سال + 9 سال 2) = 9 سال - 1 - 6 سال - 9 سال 2 = 3 سال - 1 - 9 سال 2

مثال 2. FSO

کسر 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 را کاهش دهید.

متوجه می شویم که عبارت در صورت تفاوت مکعب ها و در مخرج - تفاوت مربع ها است.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

کاهش می دهیم و می گیریم:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU ها همچنین به محاسبه مقادیر عبارات کمک می کنند. نکته اصلی این است که بتوانید متوجه شوید که در کجا باید فرمول را اعمال کنید. بیایید این را با یک مثال نشان دهیم.

بیایید عدد 79 را مربع کنیم. به جای محاسبات دست و پا گیر، می نویسیم:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

به نظر می رسد که یک محاسبه پیچیده فقط با استفاده از فرمول های ضرب اختصاری و یک جدول ضرب به سرعت انجام شده است.

نکته مهم دیگر انتخاب مربع دوجمله ای است. عبارت 4 x 2 + 4 x - 3 را می توان به 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 تبدیل کرد. چنین تحولاتی به طور گسترده در ادغام استفاده می شود.

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید