ما مسائل B14 را از امتحان حل می کنیم. بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع در یک قطعه مشکلات پیدا کردن بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع در یک قطعه

در کار B14 از USE در ریاضیات، باید کوچکترین یا بزرگترین مقدار یک تابع از یک متغیر را پیدا کنید. این یک مسئله نسبتاً پیش پا افتاده از تجزیه و تحلیل ریاضی است، و به همین دلیل است که هر فارغ التحصیل دبیرستان می تواند و باید یاد بگیرد که چگونه آن را به طور معمول حل کند. بیایید چند نمونه را تجزیه و تحلیل کنیم که دانش آموزان مدرسه در کار تشخیصی ریاضیات، که در 7 دسامبر 2011 در مسکو انجام شد، حل کردند.

بسته به فاصله زمانی که می خواهید حداکثر یا حداقل مقدار تابع را بیابید، یکی از الگوریتم های استاندارد زیر برای حل این مشکل استفاده می شود.

I. الگوریتم برای یافتن بزرگترین یا کوچکترین مقدار یک تابع در یک قطعه:

• مشتق تابع را بیابید.
• از میان نقاط مشکوک به اکستروم، نقاطی را انتخاب کنید که به بخش معین و دامنه تابع تعلق دارند.
• محاسبه مقادیر کارکرد(مشتق نیست!) در این نقاط.
• از بین مقادیر به دست آمده، بزرگترین یا کوچکترین را انتخاب کنید، آن مورد نظر خواهد بود.

مثال 1کوچکترین مقدار یک تابع را پیدا کنید
y = ایکس 3 – 18ایکس 2 + 81ایکس+ 23 در بخش.

راه حل:ما طبق الگوریتم برای یافتن کوچکترین مقدار یک تابع در یک قطعه عمل می کنیم:

• دامنه عملکرد محدود نیست: D(y) = آر.
• مشتق تابع عبارت است از: شما = 3ایکس 2 – 36ایکس+ 81. دامنه مشتق یک تابع نیز محدود نیست: D(y') = آر.
• صفرهای مشتق: شما = 3ایکس 2 – 36ایکس+ 81 = 0، بنابراین ایکس 2 – 12ایکس+ 27 = 0، از این رو ایکس= 3 و ایکس= 9، فاصله ما فقط شامل ایکس= 9 (یک امتیاز مشکوک برای یک افراطی).
• مقدار تابع را در نقطه ای مشکوک به یک انتها و در لبه های بازه می یابیم. برای راحتی محاسبات، تابع را به شکل زیر نشان می دهیم: y = ایکس 3 – 18ایکس 2 + 81ایکس + 23 = ایکس(ایکس-9) 2 +23:
  • y(8) \u003d 8 (8-9) 2 +23 \u003d 31;
  • y(9) = 9 (9-9) 2 +23 = 23;
  • y(13) = 13 (13-9) 2 +23 = 231.

بنابراین، از مقادیر به دست آمده، کوچکترین آن 23 است. جواب: 23.

II. الگوریتم برای یافتن بزرگترین یا کوچکترین مقدار یک تابع:

• محدوده تابع را پیدا کنید.
• مشتق تابع را بیابید.
• نقاط مشکوک به یک افراط را تعیین کنید (آن نقاطی که مشتق تابع ناپدید می شود و نقاطی که مشتق متناهی دو طرفه در آنها وجود ندارد).
• این نقاط و دامنه تابع را روی خط اعداد علامت بزنید و علائم را مشخص کنید مشتق(نه توابع!) در فواصل حاصل.
• مقادیر را تعریف کنید کارکرد(نه مشتق!) در حداقل نقاط (آن نقاطی که علامت مشتق از منفی به مثبت تغییر می کند)، کوچکترین این مقادیر، کوچکترین مقدار تابع خواهد بود. اگر حداقل امتیاز وجود نداشته باشد، تابع مقدار حداقلی ندارد.
• مقادیر را تعریف کنید کارکرد(نه مشتق!) در حداکثر نقاط (آن نقاطی که علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر می کند)، بزرگترین مقدار از این مقادیر، بزرگترین مقدار تابع خواهد بود. اگر حداکثر امتیاز وجود نداشته باشد، تابع مقدار حداکثر ندارد.

مثال 2بزرگترین مقدار تابع را پیدا کنید.

در عمل، استفاده از مشتق برای محاسبه بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع کاملاً رایج است. این عمل را زمانی انجام می دهیم که بفهمیم چگونه هزینه ها را به حداقل برسانیم، سود را افزایش دهیم، بار بهینه تولید و غیره را محاسبه کنیم، یعنی در مواردی که لازم است مقدار بهینه یک پارامتر را تعیین کنیم. برای حل صحیح چنین مسائلی، باید درک خوبی از بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع داشت.

معمولاً این مقادیر را در بازه ای x تعریف می کنیم که به نوبه خود می تواند با کل محدوده تابع یا بخشی از آن مطابقت داشته باشد. می تواند یک قطعه [a; b ]، و بازه باز (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) , بازه بی نهایت (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) یا بازه نامتناهی - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

در این مقاله توضیح خواهیم داد که چگونه بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع مشخصا با یک متغیر y=f(x) y = f (x) محاسبه می شود.

تعاریف اساسی

ما مثل همیشه با تدوین تعاریف اصلی شروع می کنیم.

تعریف 1

بزرگترین مقدار تابع y = f (x) در بازه ای x مقدار maxy = f (x 0) x ∈ X است که برای هر مقدار xx ∈ X , x ≠ x 0، نابرابری f (x را ایجاد می کند. ) ≤ f (x 0) .

تعریف 2

کوچکترین مقدار تابع y = f (x) در بازه ای x مقدار minx ∈ X y = f (x 0) است که برای هر مقدار x ∈ X , x ≠ x 0، نابرابری f(X را ایجاد می کند. f (x) ≥ f(x0) .

این تعاریف نسبتاً واضح هستند. حتی می‌توان ساده‌تر گفت: بزرگترین مقدار یک تابع، بزرگترین مقدار آن در یک بازه شناخته شده در ابسیسا x 0 است، و کوچکترین، کوچکترین مقدار پذیرفته شده در همان بازه در x 0 است.

تعریف 3

نقاط ثابت، مقادیری از آرگومان تابع هستند که در آن مشتق آن 0 می شود.

چرا باید بدانیم نقاط ثابت چیست؟ برای پاسخ به این سوال، باید قضیه فرما را به خاطر بسپاریم. از آن نتیجه می‌شود که یک نقطه ثابت نقطه‌ای است که انتها یک تابع متمایز در آن قرار دارد (یعنی حداقل یا حداکثر محلی آن). در نتیجه، تابع کوچکترین یا بزرگترین مقدار را در یک بازه زمانی مشخص دقیقاً در یکی از نقاط ثابت خواهد گرفت.

تابع دیگری می تواند بزرگترین یا کوچکترین مقدار را در نقاطی که خود تابع معین است و اولین مشتق آن وجود ندارد به خود بگیرد.

اولین سوالی که هنگام مطالعه این مبحث مطرح می شود این است: آیا در همه موارد، آیا می توانیم حداکثر یا حداقل مقدار یک تابع را در یک بازه معین تعیین کنیم؟ خیر، زمانی که مرزهای بازه داده شده با مرزهای حوزه تعریف منطبق باشد، یا اگر با یک بازه نامتناهی سروکار داشته باشیم، نمی توانیم این کار را انجام دهیم. همچنین اتفاق می افتد که یک تابع در یک بازه معین یا در بی نهایت مقادیر بی نهایت کوچک یا بی نهایت بزرگ به خود می گیرد. در این موارد، تعیین بزرگترین و/یا کوچکترین مقدار ممکن نیست.

این لحظات بعد از تصویر روی نمودارها قابل درک تر می شوند:

شکل اول تابعی را به ما نشان می دهد که بزرگترین و کوچکترین مقادیر (m a x y و m i n y) را در نقاط ثابت واقع در بازه [-6; 6].

اجازه دهید به طور مفصل مورد نشان داده شده در نمودار دوم را بررسی کنیم. بیایید مقدار بخش را به [ 1 ; 6] و دریافت می کنیم که بیشترین مقدار تابع در نقطه ای با آبسیسا در مرز سمت راست بازه و کوچکترین آن در نقطه ثابت به دست می آید.

در شکل سوم، ابسیساهای نقاط نشان دهنده نقاط مرزی قطعه هستند [-3; 2]. آنها با بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع داده شده مطابقت دارند.

حالا بیایید به تصویر چهارم نگاه کنیم. در آن، تابع m a x y (بزرگترین مقدار) و m i n y (کوچکترین مقدار) را در نقاط ثابت در بازه باز (-6 ؛ 6) می گیرد.

اگر فاصله [ 1 ; 6) ، پس می توان گفت که کوچکترین مقدار تابع روی آن در یک نقطه ثابت به دست خواهد آمد. ما حداکثر مقدار را نمی دانیم. اگر x = 6 متعلق به بازه باشد، تابع می تواند بزرگترین مقدار را در x برابر با 6 بگیرد. این مورد است که در شکل 5 نشان داده شده است.

در نمودار 6، این تابع کوچکترین مقدار را در مرز سمت راست بازه به دست می آورد (- 3 ؛ 2 ]، و ما نمی توانیم نتیجه گیری قطعی در مورد بزرگترین مقدار بگیریم.

در شکل 7 می بینیم که تابع m a x y در نقطه ثابت خواهد داشت که دارای آبسیسا برابر با 1 است. تابع در مرز بازه سمت راست به حداقل مقدار خود می رسد. در منهای بی نهایت، مقادیر تابع به طور مجانبی به y = 3 نزدیک می شود.

اگر بازه x ∈ 2 را در نظر بگیریم. + ∞، سپس خواهیم دید که تابع داده شده کوچکترین یا بزرگترین مقدار را نخواهد گرفت. اگر x تمایل به 2 داشته باشد، مقادیر تابع به منهای بی نهایت میل خواهد کرد، زیرا خط مستقیم x = 2 مجانبی عمودی است. اگر آبسیسا به اضافه بی نهایت تمایل داشته باشد، مقادیر تابع به طور مجانبی به y = 3 نزدیک می شود. این موردی است که در شکل 8 نشان داده شده است.

در این پاراگراف، دنباله ای از اقداماتی را ارائه خواهیم داد که برای یافتن بزرگترین یا کوچکترین مقدار یک تابع در یک بازه زمانی مشخص، باید انجام شوند.

1. ابتدا دامنه تابع را پیدا می کنیم. بیایید بررسی کنیم که آیا بخش مشخص شده در شرط در آن گنجانده شده است یا خیر.
2. حال بیایید نقاط موجود در این بخش را محاسبه کنیم که مشتق اول در آنها وجود ندارد. اغلب، آنها را می توان در توابعی یافت که آرگومان آنها زیر علامت مدول نوشته شده است، یا در توابع توان، که توان آنها یک عدد گویا کسری است.
3. در مرحله بعد، متوجه می شویم که کدام نقاط ثابت در یک بخش معین قرار می گیرند. برای این کار باید مشتق تابع را محاسبه کنید، سپس آن را با 0 برابر کنید و معادله حاصل را حل کنید و سپس ریشه های مناسب را انتخاب کنید. اگر یک نقطه ثابت به دست نیاوردیم یا در یک بخش مشخص قرار نگرفتیم، به مرحله بعدی می رویم.
4. اجازه دهید تعیین کنیم که تابع در نقاط ثابت داده شده (در صورت وجود)، یا در آن نقاطی که اولین مشتق وجود ندارد (در صورت وجود) چه مقادیری می گیرد، یا مقادیر x = a و x را محاسبه می کنیم. = ب
5. 5. ما یک سری مقادیر تابع داریم که اکنون باید بزرگترین و کوچکترین را از بین آنها انتخاب کنیم. این بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابعی است که باید پیدا کنیم.

بیایید ببینیم که چگونه این الگوریتم را در هنگام حل مسائل به درستی اعمال کنیم.

مثال 1

شرایط. شرط:تابع y = x 3 + 4 x 2 داده شده است. بزرگترین و کوچکترین مقدار آن را در بخش ها تعیین کنید [1; 4 ] و [ - 4 ; - یک ] .

راه حل:

بیایید با پیدا کردن دامنه این تابع شروع کنیم. در این حالت، مجموعه تمام اعداد حقیقی به جز 0 خواهد بود. به عبارت دیگر، D (y): x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞ . هر دو بخش مشخص شده در شرط در داخل ناحیه تعریف خواهند بود.

اکنون مشتق تابع را با توجه به قانون تمایز کسری محاسبه می کنیم:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 xx 4 = x 3 - 8 x 3

ما آموختیم که مشتق تابع در تمام نقاط بخش وجود خواهد داشت [1; 4 ] و [ - 4 ; - یک ] .

حال باید نقاط ثابت تابع را مشخص کنیم. بیایید این کار را با معادله x 3 - 8 x 3 = 0 انجام دهیم. فقط یک ریشه واقعی دارد که 2 است. این یک نقطه ثابت تابع خواهد بود و در بخش اول قرار می گیرد [1; 4 ] .

اجازه دهید مقادیر تابع را در انتهای اولین بخش و در نقطه داده شده محاسبه کنیم. برای x = 1، x = 2 و x = 4:

y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

ما دریافتیم که بزرگترین مقدار تابع m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 در x = 1 و کوچکترین m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 - در x = 2.

بخش دوم هیچ نقطه ثابتی را شامل نمی شود، بنابراین باید مقادیر تابع را فقط در انتهای بخش داده شده محاسبه کنیم:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

بنابراین، m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3، m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

پاسخ:برای بخش [1; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3، m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3، برای بخش [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3، m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

تصویر را ببینید:

قبل از یادگیری این روش، به شما توصیه می کنیم نحوه محاسبه صحیح حد یک طرفه و حد در بی نهایت را مرور کنید و همچنین روش های اولیه پیدا کردن آنها را بیاموزید. برای یافتن بزرگترین و/یا کوچکترین مقدار یک تابع در بازه باز یا بی نهایت، مراحل زیر را به ترتیب انجام می دهیم.

1. ابتدا باید بررسی کنید که آیا بازه داده شده زیر مجموعه ای از دامنه تابع داده شده خواهد بود یا خیر.
2. اجازه دهید تمام نقاطی را که در بازه مورد نیاز وجود دارد و اولین مشتق در آنها وجود ندارد، تعیین کنیم. معمولاً در توابعی که آرگومان در علامت ماژول محصور می شود و در توابع توان با توان کسری گویا رخ می دهند. اگر این نکات از دست رفته است، می توانید به مرحله بعدی بروید.
3. حال تعیین می کنیم که کدام نقاط ثابت در یک بازه معین قرار می گیرند. ابتدا مشتق را معادل 0 می کنیم و معادله را حل می کنیم و ریشه های مناسب را پیدا می کنیم. اگر یک نقطه ثابت نداشته باشیم یا آنها در یک بازه مشخص قرار نگیرند، بلافاصله اقدامات بعدی را انجام می دهیم. آنها بر اساس نوع فاصله تعیین می شوند.

• اگر بازه مانند [a; b) ، سپس باید مقدار تابع را در نقطه x = a و حد یک طرفه lim x → b - 0 f (x) محاسبه کنیم.
• اگر بازه دارای شکل (a ; b ] باشد، باید مقدار تابع را در نقطه x = b و حد یک طرفه lim x → a + 0 f (x) محاسبه کنیم.
• اگر بازه دارای شکل (a ; b) باشد، پس باید حدهای یک طرفه lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) را محاسبه کنیم.
• اگر بازه مانند [a; + ∞) ، سپس باید مقدار را در نقطه x = a و حد را به اضافه بی نهایت lim x → + ∞ f (x) محاسبه کرد.
• اگر بازه مانند (-∞ ؛ b ] باشد، مقدار را در نقطه x = b و حد را در منهای بی نهایت lim x → - ∞ f (x) محاسبه می کنیم.
• اگر - ∞ ; b ، سپس حد یک طرفه lim x → b - 0 f (x) و حد را در منهای بی نهایت lim x → - ∞ f (x) در نظر می گیریم.
• اگر - ∞ ; + ∞، سپس حدود منهای و به اضافه بی نهایت lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) را در نظر می گیریم.

1. در پایان باید بر اساس مقادیر به دست آمده از تابع و حدود نتیجه گیری کنید. در اینجا گزینه های زیادی وجود دارد. بنابراین، اگر حد یک طرفه برابر با منهای بی‌نهایت یا به اضافه بی‌نهایت باشد، بلافاصله مشخص می‌شود که در مورد کوچک‌ترین و بزرگ‌ترین مقدار تابع چیزی نمی‌توان گفت. در زیر یک مثال معمولی را در نظر خواهیم گرفت. توضیحات مفصل به شما کمک می کند بفهمید چیست. در صورت لزوم، می توانید به شکل های 4 - 8 در قسمت اول مطالب بازگردید.

شرط: تابع y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 داده می شود. بزرگترین و کوچکترین مقدار آن را در فواصل محاسبه کنید - ∞ ; - 4 , - ∞ ; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2 ) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; +∞).

راه حل

اول از همه، دامنه تابع را پیدا می کنیم. مخرج کسر یک مثلث مربع است که نباید به 0 برود:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ؛ - 3) ∪ (- 3 ؛ 2) ∪ (2 ; + ∞)

ما محدوده تابع را به دست آورده ایم که تمام بازه های مشخص شده در شرط به آن تعلق دارد.

حالا بیایید تابع را متمایز کنیم و دریافت کنیم:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " == 3 e 1 x 2 + x - 6 1 "x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

در نتیجه، مشتقات یک تابع در کل دامنه تعریف آن وجود دارد.

بیایید به سراغ یافتن نقاط ثابت برویم. مشتق تابع در x = - 1 2 0 می شود. این یک نقطه ثابت است که در فواصل (- 3 ; 1 ] و (- 3 ; 2) است.

بیایید مقدار تابع را در x = - 4 برای بازه (- ∞ ; - 4 ] و همچنین حد در منهای بی نهایت محاسبه کنیم:

y (- 4) \u003d 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

از آنجایی که 3 e 1 6 - 4 > - 1 , سپس maxyx ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4 . این به ما اجازه نمی دهد که کوچکترین مقدار تابع را به طور منحصر به فرد تعیین کنیم. ما فقط می توانیم نتیجه بگیریم که یک حد زیر - 1 وجود دارد، زیرا به این مقدار است که تابع به صورت مجانبی در منهای بی نهایت نزدیک می شود.

یکی از ویژگی های بازه دوم این است که یک نقطه ثابت و یک مرز دقیق ندارد. بنابراین، ما نمی توانیم بزرگترین یا کوچکترین مقدار تابع را محاسبه کنیم. با تعریف حد در منهای بی نهایت و با تمایل آرگومان به - 3 در سمت چپ، فقط محدوده مقادیر را دریافت می کنیم:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

این بدان معنی است که مقادیر تابع در بازه - 1 قرار خواهند گرفت. +∞

برای یافتن حداکثر مقدار تابع در بازه سوم، مقدار آن را در نقطه ثابت x = - 1 2 اگر x = 1 تعیین می کنیم. همچنین باید حد یک طرفه را برای مواردی که آرگومان تمایل به - 3 در سمت راست دارد بدانیم:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

معلوم شد که تابع بیشترین مقدار را در نقطه ثابت maxyx ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 خواهد گرفت. در مورد کوچکترین مقدار، ما نمی توانیم آن را تعیین کنیم. دانستن وجود یک حد پایین تر به 4 است.

برای بازه (- 3 ؛ 2)، بیایید نتایج محاسبه قبلی را در نظر بگیریم و یک بار دیگر محاسبه کنیم که حد یک طرفه در هنگام تمایل به 2 از سمت چپ برابر است:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

بنابراین، m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4، و کوچکترین مقدار را نمی توان تعیین کرد و مقادیر تابع از زیر با عدد - 4 محدود می شود.

بر اساس آنچه در دو محاسبات قبلی انجام دادیم، می‌توانیم ادعا کنیم که در بازه [1; 2) تابع بیشترین مقدار را در x = 1 خواهد گرفت و یافتن کوچکترین آن غیرممکن است.

در بازه (2 ; + ∞)، تابع به بزرگترین یا کوچکترین مقدار نمی رسد، یعنی. مقادیر را از بازه - 1 می گیرد. +∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

پس از محاسبه مقدار تابع در x = 4 , متوجه می شویم که m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4، و تابع داده شده به اضافه بی نهایت به طور مجانبی به خط y = - 1 نزدیک می شود.

بیایید آنچه را که در هر محاسبه به دست آوردیم با نمودار تابع داده شده مقایسه کنیم. در شکل مجانب ها با خطوط نقطه چین نشان داده شده اند.

این تمام چیزی است که می خواستیم در مورد یافتن بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع صحبت کنیم. آن دسته از اقداماتی که ارائه کرده ایم به شما کمک می کند تا محاسبات لازم را با بیشترین سرعت و سادگی انجام دهید. اما به یاد داشته باشید که اغلب مفید است که ابتدا بفهمیم تابع در چه بازه هایی کاهش می یابد و در چه بازه هایی افزایش می یابد و پس از آن می توان نتیجه گیری های بیشتری کرد. بنابراین می توانید با دقت بیشتری بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع را تعیین کرده و نتایج را توجیه کنید.

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

اجازه دهید تابع y=f(ایکس)پیوسته در بخش [ الف، ب]. همانطور که مشخص است، چنین تابعی به حداکثر و حداقل مقادیر خود در این بخش می رسد. تابع می تواند این مقادیر را در یک نقطه داخلی از بخش [ الف، ب] یا در مرز بخش.

برای پیدا کردن بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع در بخش [ الف، ب] لازم:

1) نقاط بحرانی تابع را در بازه ( الف، ب);

2) مقادیر تابع را در نقاط بحرانی یافت شده محاسبه کنید.

3) مقادیر تابع را در انتهای بخش، یعنی برای محاسبه کنید ایکس=ولیو x = ب;

4) از بین تمام مقادیر محاسبه شده تابع، بزرگترین و کوچکترین را انتخاب کنید.

مثال.بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع را پیدا کنید

در بخش

یافتن نقاط بحرانی:

این نقاط در داخل بخش قرار دارند. y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

در نقطه ایکس= 3 و در نقطه ایکس= 0.

بررسی یک تابع برای تحدب و یک نقطه عطف.

تابع y = f (ایکس) تماس گرفت محدبدر بین (آ, ب) ، اگر نمودار آن زیر مماس رسم شده در هر نقطه از این بازه قرار گیرد و فراخوانی شود محدب به پایین (مقعر)اگر نمودار آن بالاتر از مماس باشد.

نقطه ای در گذار که از طریق آن تحدب با تقعر جایگزین می شود یا برعکس، نامیده می شود. نقطه عطف.

الگوریتم بررسی تحدب و نقطه عطف:

1. نقاط بحرانی نوع دوم را بیابید، یعنی نقاطی که مشتق دوم برابر با صفر است یا وجود ندارد.

2. نقاط بحرانی را روی خط اعداد قرار دهید و آن را به فواصل تقسیم کنید. علامت مشتق دوم را در هر بازه پیدا کنید. اگر، تابع به سمت بالا محدب است، اگر، پس تابع به سمت پایین محدب است.

3. اگر هنگام عبور از نقطه بحرانی نوع دوم تغییر علامت دهد و در این نقطه مشتق دوم برابر با صفر باشد، این نقطه آبسیس نقطه عطف است. ترتیب آن را پیدا کنید.

مجانبی از نمودار یک تابع. بررسی یک تابع در مجانب.

تعریف.مجانب نمودار یک تابع نامیده می شود سر راست، که این ویژگی را دارد که فاصله هر نقطه از نمودار تا این خط با حذف نامحدود نقطه نمودار از مبدا به صفر می رسد.

سه نوع مجانب وجود دارد: عمودی، افقی و شیب دار.

تعریف.دایرکت تماس گرفت مجانب عمودینمودار تابع y = f(x)، اگر حداقل یکی از حدود یک طرفه تابع در این نقطه برابر با بی نهایت باشد،

نقطه ناپیوستگی تابع کجاست، یعنی به حوزه تعریف تعلق ندارد.

مثال.

D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

ایکس= 2 - نقطه شکست.

تعریف.سر راست y=آتماس گرفت مجانب افقینمودار تابع y = f(x)در، اگر

مثال.

تعریف.سر راست y=کx +ب (ک≠ 0) نامیده می شود مجانب مایلنمودار تابع y = f(x)در، کجا

طرح کلی برای مطالعه توابع و رسم.

الگوریتم تحقیق توابعy = f(x) :

1. دامنه تابع را پیدا کنید D (y).

2. نقاط تقاطع نمودار را با محورهای مختصات (در صورت امکان) پیدا کنید. ایکس= 0 و در y = 0).

3. بررسی توابع زوج و فرد ( y (‒ ایکس) = y (ایکس) ‒ برابری؛ y(‒ ایکس) = ‒ y (ایکس) ‒ فرد).

4. مجانب نمودار تابع را بیابید.

5. فواصل یکنواختی تابع را بیابید.

6. منتهی الیه تابع را بیابید.

7. فواصل تحدب (تقعر) و نقاط عطف نمودار تابع را بیابید.

8. بر اساس تحقیق انجام شده نموداری از تابع بسازید.

مثال.تابع را بررسی کنید و نمودار آن را رسم کنید.

1) D (y) =

ایکس= 4 - نقطه شکست.

2) چه زمانی ایکس = 0,

(0; – 5) – نقطه تقاطع با اوه.

در y = 0,

3) y(‒ ایکس)= تابع کلی (نه زوج و نه فرد).

4) مجانبی را بررسی می کنیم.

الف) عمودی

ب) افقی

ج) مجانب مایل را در کجا بیابید

‒معادله مجانبی مورب

5) در این معادله نیازی به یافتن فواصل یکنواختی تابع نیست.

6)

این نقاط بحرانی کل دامنه تابع را در بازه (˗∞؛ ˗2)، (˗2؛ 4)، (4؛ 10) و (10؛ +∞) تقسیم بندی می کنند. ارائه نتایج به دست آمده در قالب جدول زیر راحت است:

از جدول می توان دریافت که نقطه ایکس= ‒2‒حداکثر نقطه، در نقطه ایکس= 4‒ بدون افراط، ایکس= 10 - حداقل امتیاز.

مقدار (‒ 3) را در معادله جایگزین کنید:

9 + 24 ‒ 20 > 0

25 ‒ 40 ‒ 20 < 0

121 ‒ 88 ‒ 20 > 0

حداکثر این تابع است

(– 2؛ – 4) – حداکثر افراطی.

حداقل این تابع است

(10؛ 20) حداقل افراط است.

7) تحدب و نقطه عطف نمودار تابع را بررسی کنید

مفهوم بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع.

مفهوم بزرگترین و کوچکترین مقادیر ارتباط نزدیکی با مفهوم نقطه بحرانی یک تابع دارد.

تعریف 1

$x_0$ نقطه بحرانی تابع $f(x)$ نامیده می شود اگر:

1) $x_0$ - نقطه داخلی دامنه تعریف.

2) $f"\left(x_0\right)=0$ یا وجود ندارد.

حال اجازه دهید تعاریف بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع را معرفی کنیم.

تعریف 2

یک تابع $y=f(x)$ تعریف شده در بازه $X$ به حداکثر مقدار خود می رسد اگر یک نقطه $x_0\در X$ وجود داشته باشد به طوری که برای تمام $x\in X$ نابرابری وجود داشته باشد.

تعریف 3

یک تابع $y=f(x)$ تعریف شده در بازه $X$ به حداقل مقدار خود می رسد اگر یک نقطه $x_0\در X$ وجود داشته باشد به طوری که برای تمام $x\in X$ نابرابری وجود داشته باشد.

قضیه وایرشتراس در مورد تابع پیوسته در بازه

اجازه دهید ابتدا مفهوم تابع پیوسته در بازه را معرفی کنیم:

تعریف 4

تابع $f\left(x\right)$ در بازه $$ پیوسته نامیده می شود اگر در هر نقطه از بازه $(a,b)$ پیوسته باشد و همچنین در سمت راست در نقطه $x= پیوسته باشد. a$ و در سمت چپ در نقطه $x =b$.

اجازه دهید یک قضیه را در مورد یک تابع پیوسته در یک بازه فرموله کنیم.

قضیه 1

قضیه وایرشتراس

تابع $f\left(x\right)$ که در بازه $$ ممتد است، در این بازه به حداکثر و حداقل مقدار خود می رسد، یعنی نقاط $\alpha,\beta \در $ وجود دارد. که برای همه $x\in $ نابرابری $f(\alpha)\le f(x)\le f(\beta)$.

تفسیر هندسی قضیه در شکل 1 نشان داده شده است.

در اینجا تابع $f(x)$ در نقطه $x=\alpha $ به حداکثر مقدار خود در نقطه $x=\beta $ می رسد.

طرحی برای یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع $f(x)$ در بازه $$

1) مشتق $f"(x)$ را بیابید.

2) نقاطی را پیدا کنید که مشتق $f"\left(x\right)=0$;

3) نقاطی را پیدا کنید که مشتق $f"(x)$ وجود ندارد.

4) از نقاط به دست آمده در پاراگراف های 2 و 3 مواردی را که متعلق به بخش $$ هستند انتخاب کنید.

5) مقدار تابع را در نقاط به دست آمده در مرحله 4 و همچنین در انتهای بخش $$ محاسبه کنید.

6) از بین مقادیر به دست آمده بزرگترین و کوچکترین مقدار را انتخاب کنید.

مشکلات برای یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع در یک قطعه

مثال 1

بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع را در بخش پیدا کنید: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

راه حل.

1) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

2) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $2\in \ چپ،\ 3\ در $;

5) ارزش ها:

\ \ \ \

6) بزرگترین مقادیر یافت شده 33 دلار و کوچکترین مقادیر یافت شده 1 دلار است. بنابراین، دریافت می کنیم:

پاسخ:$max=33،\ min=1$.

مثال 2

بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع را در بخش پیدا کنید: $f\left(x\right)=x^3-3x^2-45x+225$

راه حل.

راه حل طبق طرح فوق انجام خواهد شد.

1) $f"\left(x\right)=3x^2-6x-45$;

2) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

3) $f"(x)$ در تمام نقاط دامنه تعریف وجود دارد.

4) $-3\notin\left,\5\in $;

5) ارزش ها:

\ \ \

6) بزرگترین مقادیر یافت شده 225 دلار و کوچکترین مقادیر یافت شده 50 دلار است. بنابراین، دریافت می کنیم:

پاسخ:حداکثر $225،\ حداقل = 50 $.

مثال 3

بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع را در بازه [-2,2] بیابید: $f\left(x\right)=\frac(x^2-6x+9)(x-1)$

راه حل.

راه حل طبق طرح فوق انجام خواهد شد.

1) $f"\left(x\right)=\frac(\left(2x-6\right)\left(x-1\right)-(x^2-6x+9))((x- 1))^2)=\frac(x^2-2x-3)(((x-1))^2)$;

2) $f"\left(x\right)=0$;

\[\frac(x^2-2x-3)(((x-1))^2)=0\] \\

3) $f"(x)$ در نقطه $x=1$ وجود ندارد

4) $3\notin \ چپ[-2,2\راست]،\ -1\in \ چپ[-2,2\راست]،\ 1\در \چپ[-2,2\راست]$، با این حال 1 به محدوده تعلق ندارد؛

5) ارزش ها:

\ \ \

6) بزرگترین مقادیر یافت شده $1 است، کوچکترین مقادیر یافت شده $-8\frac(1)(3)$ است. بنابراین، دریافت می کنیم: \end(enumerate)

پاسخ:$max=1،\ min==-8\frac(1)(3)$.