معادلات دارای دو بخش حل معادلات خطی ساده تغییر متغیر در حل معادلات نمایی. نمونه هایی از

پس از مطالعه مفهوم برابری ها ، یعنی یکی از انواع آنها - برابری های عددی ، می توانیم به سراغ نوع مهم دیگر - معادلات برویم. در چارچوب این ماده ، ما توضیح خواهیم داد که معادله و ریشه آن چیست ، تعاریف اساسی را تدوین کرده و نمونه های مختلفی از معادلات و ریشه یابی آنها را ارائه می دهیم.

مفهوم معادله

معمولاً مفهوم معادله در ابتدای دوره جبر مدرسه مورد مطالعه قرار می گیرد. سپس به صورت زیر تعریف می شود:

تعریف 1

معادلهبرابری نامیده می شود با عددی ناشناخته که باید یافت شود.

مرسوم است که مجهولات را با حروف کوچک لاتین ، به عنوان مثال ، t ، r ، m و غیره نشان دهیم ، اما اغلب از x ، y ، z استفاده می شود. به عبارت دیگر ، معادله شکل نگارش آن را تعیین می کند ، یعنی برابری تنها زمانی معادله خواهد بود که به شکل خاصی کاهش یابد - باید دارای یک حرف باشد ، مقداری که باید یافت شود.

در اینجا چند نمونه از ساده ترین معادلات آورده شده است. اینها می توانند برابری شکل x = 5 ، y = 6 و غیره و همچنین مواردی باشند که شامل عملیات حسابی هستند ، به عنوان مثال ، x + 7 = 38 ، z - 4 = 2 ، 8 t = 4 ، 6: x = 3

پس از مطالعه مفهوم پرانتز ، مفهوم معادلات با پرانتز ظاهر می شود. اینها شامل 7 (x - 1) = 19 ، x + 6 (x + 6 (x - 8)) = 3 و غیره به عنوان مثال ، در معادله x + 2 + 4 x - 2 - x = 10. همچنین مجهولات را می توان نه تنها در سمت چپ ، بلکه در سمت راست یا هر دو قسمت به طور همزمان قرار داد ، به عنوان مثال ، x (8 + 1) - 7 = 8 ، 3 - 3 = z + 3 یا 8 x - 9 = 2 (x + 17).

علاوه بر این ، پس از آشنایی دانش آموزان با مفهوم اعداد صحیح ، اعداد واقعی ، منطقی ، طبیعی و همچنین لگاریتم ها ، ریشه ها و قدرتها ، معادلات جدیدی ظاهر می شود که شامل همه این اشیاء می شود. ما مقاله ای جداگانه به نمونه هایی از این گونه عبارات اختصاص داده ایم.

در برنامه کلاس هفتم ، مفهوم متغیرها برای اولین بار ظاهر می شود. اینها حروفی هستند که می توانند معانی متفاوتی داشته باشند (برای جزئیات بیشتر ، مقاله عبارات عددی ، تحت اللفظی و متغیر را ببینید). بر اساس این مفهوم ، ما می توانیم معادله را دوباره تعریف کنیم:

تعریف 2

معادلهبرابری شامل متغیری است که می خواهید مقدار آن را ارزیابی کنید.

به عنوان مثال ، عبارت x + 3 = 6 x + 7 معادله ای با متغیر x و 3 y - 1 + y = 0 معادله ای با متغیر y است.

یک معادله ممکن است شامل یک متغیر نباشد ، بلکه دو یا چند باشد. آنها به ترتیب معادلات دو ، سه متغیر و غیره نامیده می شوند. اجازه دهید تعریف را بنویسیم:

تعریف 3

معادلات با دو (سه ، چهار یا بیشتر) متغیرهایی هستند که شامل تعداد ناشناخته های مربوطه می شوند.

به عنوان مثال ، برابری شکل 3 ، 7 x + 0 ، 6 = 1 معادله ای با یک متغیر x و x - z = 5 معادله ای با دو متغیر x و z است. یک مثال از معادله با سه متغیر x 2 + (y - 6) 2 + (z + 0 ، 6) 2 = 26 خواهد بود.

ریشه معادله

وقتی از یک معادله صحبت می کنیم ، فوراً لازم است مفهوم ریشه آن را تعریف کنیم. بیایید سعی کنیم معنی آن را توضیح دهیم.

مثال 1

به ما معادله ای داده می شود که شامل یک متغیر است. اگر یک عدد را برای حرف ناشناخته جایگزین کنیم ، معادله به یک برابری عددی تبدیل می شود - درست یا غلط. بنابراین ، اگر در معادله a + 1 = 5 حرف را با عدد 2 جایگزین کنیم ، برابری نادرست می شود ، و اگر 4 ، پس برابر برابر 4 + 1 = 5 را بدست آوریم.

ما دقیقاً به آن مقادیری علاقه داریم که متغیر با آنها به برابری صحیح تبدیل می شود. آنها ریشه یا محلول نامیده می شوند. بیایید تعریف را بنویسیم.

تعریف 4

ریشه معادلهمقدار متغیری نامیده می شود که معادله معینی را به برابری واقعی تبدیل می کند.

ریشه را می توان راه حل نیز نامید ، یا برعکس - هر دو این مفاهیم یک معنی دارند.

مثال 2

برای روشن شدن این تعریف مثالی می زنیم. در بالا معادله a + 1 = 5 را دادیم. با توجه به تعریف ، ریشه در این مورد 4 خواهد بود ، زیرا هنگامی که به جای یک حرف جایگزین می شود ، برابری عددی صحیح را ارائه می دهد ، و دو راه حل نخواهد بود ، زیرا با برابری نادرست 2 + 1 = 5 مطابقت دارد.

یک معادله چند ریشه می تواند داشته باشد؟ آیا هر معادله ای ریشه دارد؟ بیایید به این سوالات پاسخ دهیم.

معادلاتی که ریشه واحد ندارند نیز وجود دارد. یک مثال می تواند 0 x = 5 باشد. ما می توانیم بی نهایت تعداد مختلف را در آن جایگزین کنیم ، اما هیچ یک از آنها را به یک برابری واقعی تبدیل نمی کند ، زیرا ضرب در 0 همیشه 0 را می دهد.

همچنین معادلاتی با ریشه های متعدد وجود دارد. آنها می توانند ریشه محدود و نامحدود زیادی داشته باشند.

مثال 3

بنابراین ، در معادله x - 2 = 4 فقط یک ریشه وجود دارد - شش ، در x 2 = 9 دو ریشه وجود دارد - سه و منهای سه ، در x (x - 1) (x - 2) = 0 سه عدد وجود دارد ریشه - صفر ، یک و دو ، در معادله x = x بی نهایت ریشه وجود دارد.

حال بیایید نحوه صحیح نوشتن ریشه های معادله را توضیح دهیم. اگر آنها وجود ندارند ، ما چنین می نویسیم: "معادله ریشه ندارد." در این حالت ، می توان علامت مجموعه خالی را نیز نشان داد. اگر ریشه وجود دارد ، ما آنها را با کاما جداگانه می نویسیم یا آنها را به عنوان عناصر یک مجموعه نشان می دهیم و آنها را در مهاربندهای مجعد قرار می دهیم. بنابراین ، اگر هر معادله دارای سه ریشه - 2 ، 1 و 5 باشد ، ما می نویسیم - 2 ، 1 ، 5 یا ( - 2 ، 1 ، 5).

مجاز است ریشه ها را در قالب ساده ترین برابری ها بنویسید. بنابراین ، اگر مجهول در معادله با حرف y نشان داده شود و ریشه های آن 2 و 7 باشد ، y = 2 و y = 7 می نویسیم. گاهی اوقات زیرنویس به حروف اضافه می شود ، به عنوان مثال ، x 1 = 3 ، x 2 = 5. بنابراین ، ما تعداد ریشه ها را نشان می دهیم. اگر معادله بی نهایت راه حل دارد ، ما پاسخ را به عنوان یک فاصله عددی می نویسیم یا از علامت پذیرفته شده عمومی استفاده می کنیم: مجموعه اعداد طبیعی با N ، اعداد صحیح - Z ، واقعی - R نشان داده می شود. بگویید ، اگر لازم است بنویسیم که راه حل معادله هر عدد صحیح خواهد بود ، آنگاه x ∈ Z و اگر واقعی از یک تا نه ، y ∈ 1 ، 9 بنویسیم.

هنگامی که یک معادله دارای دو ، سه یا چند ریشه است ، به عنوان یک قاعده ، یکی نه در مورد ریشه ها ، بلکه در مورد راه حل های معادله صحبت می کند. اجازه دهید تعریف راه حل معادله را در چند متغیر تدوین کنیم.

تعریف 5

راه حل یک معادله با دو ، سه یا چند متغیر ، دو ، سه یا چند مقدار متغیر است که معادله داده شده را به یک برابری عددی واقعی تبدیل می کند.

اجازه دهید تعریف را با مثال توضیح دهیم.

مثال 4

فرض کنید ما یک عبارت x + y = 7 داریم که معادله ای در دو متغیر است. بیایید یکی را به جای اول و دو را به جای دومی جایگزین کنیم. ما به یک برابری نادرست خواهیم رسید ، به این معنی که این جفت مقادیر راه حلی برای این معادله نخواهند بود. اگر از یک جفت 3 و 4 استفاده کنیم ، برابری صادق می شود ، به این معنی که ما یک راه حل پیدا کرده ایم.

چنین معادلاتی نیز ممکن است ریشه نداشته باشند یا تعداد نامحدودی از آنها وجود داشته باشد. اگر ما نیاز به نوشتن دو ، سه ، چهار یا چند مقدار داریم ، آنها را با کاما جدا شده در پرانتز می نویسیم. یعنی در مثال بالا ، پاسخ شبیه (3 ، 4) خواهد بود.

در عمل ، اغلب باید با معادلات حاوی یک متغیر برخورد کرد. ما در مقاله اختصاص داده شده به حل معادلات ، الگوریتم حل آنها را به تفصیل در نظر خواهیم گرفت.

در صورت مشاهده خطا در متن ، لطفاً آن را انتخاب کرده و Ctrl + Enter را فشار دهید

معادلات یکی از سخت ترین موضوعات برای یادگیری هستند ، اما برای اکثر وظایف به اندازه کافی قدرتمند هستند.

فرآیندهای مختلفی که در طبیعت رخ می دهد با کمک معادلات شرح داده شده است. معادلات به طور گسترده ای در سایر علوم مورد استفاده قرار می گیرد: اقتصاد ، فیزیک ، زیست شناسی و شیمی.

در این درس ، ما سعی می کنیم جوهر ساده ترین معادلات را درک کرده ، نحوه بیان مجهولات و حل چندین معادله را بیاموزیم. با یادگیری مطالب جدید ، معادلات پیچیده تر می شوند ، بنابراین درک اصول اولیه بسیار مهم است.

مهارت های مقدماتی محتوای درس

معادله چیست؟

معادله یک برابری است که شامل متغیری است که می خواهید مقدار آن را پیدا کنید. این مقدار باید به گونه ای باشد که وقتی در معادله اصلی جایگزین می شود ، برابری عددی صحیح به دست آید.

به عنوان مثال ، عبارت 3 + 2 = 5 برابر است. هنگام محاسبه سمت چپ ، برابر عددی صحیح 5 = 5 را بدست می آورید.

اما برابری 3+ ایکس= 5 یک معادله است زیرا شامل متغیر است ایکس، که ارزش آن را می توان یافت. مقدار باید به گونه ای باشد که وقتی این مقدار را در معادله اصلی جایگزین می کنید ، از برابری عددی صحیح برخوردار شوید.

به عبارت دیگر ، ما باید مقداری را پیدا کنیم که علامت مساوی موقعیت آن را توجیه کند - سمت چپ باید برابر سمت راست باشد.

معادله 3+ ایکس= 5 ابتدایی است. مقدار متغیر ایکسبرابر است با 2. برای هر مقدار دیگر ، برابری رعایت نمی شود

گفته می شود که عدد 2 است ریشهیا با حل معادله 3 + ایکس = 5

ریشهیا راه حل معادلهآیا مقدار متغیری است که در آن معادله به برابری عددی معتبر تبدیل می شود.

ممکن است ریشه اندک باشد یا اصلاً وجود نداشته باشد. معادله را حل کنیدبه معنای یافتن ریشه های آن یا اثبات عدم وجود ریشه است.

متغیر موجود در معادله نیز نامیده می شود ناشناس... شما حق دارید با هر چیزی که برای شما راحت تر است تماس بگیرید. اینها مترادف هستند.

توجه داشته باشید... هم نشینی "معادله را حل کنید"خودش حرف می زند حل معادله به معنای "برابری" برابری است - آن را متعادل می کند به طوری که سمت چپ با سمت راست برابر می شود.

یکی را از طریق دیگری بیان کنید

به طور سنتی ، مطالعه معادلات با یادگیری نحوه بیان یک عدد در برابری از طریق تعدادی دیگر آغاز می شود. این سنت را زیر پا نگذاریم و همین کار را انجام دهیم.

عبارت زیر را در نظر بگیرید:

8 + 2

این عبارت مجموع اعداد 8 و 2 است. مقدار این عبارت 10 است

8 + 2 = 10

به برابری رسیدیم اکنون می توانید هر عددی از این برابری را بر حسب سایر اعداد موجود در یکسان بیان کنید. برای مثال ، بیایید عدد 2 را بیان کنیم.

برای بیان عدد 2 ، باید این سال را مطرح کنید: "برای بدست آوردن عدد 2 با اعداد 10 و 8 چه باید کرد". واضح است که برای بدست آوردن عدد 2 ، باید عدد 8 را از عدد 10 کم کنید.

بنابراین ما آن را انجام می دهیم. ما عدد 2 را یادداشت می کنیم و از طریق علامت مساوی می گوییم که برای بدست آوردن این عدد 2 ، عدد 8 را از عدد 10 کم می کنیم:

2 = 10 − 8

ما عدد 2 را از برابری 8 + 2 = 10 بیان کردیم. همانطور که از مثال مشاهده می کنید ، هیچ چیز پیچیده ای در مورد آن وجود ندارد.

هنگام حل معادلات ، به ویژه هنگام بیان یک عدد بر حسب عدد دیگر ، مناسب است که علامت برابری را با کلمه جایگزین کنید. وجود دارد" ... این باید به صورت ذهنی انجام شود ، نه در خود بیان.

بنابراین ، با بیان عدد 2 از برابری 8 + 2 = 10 ، به برابری 2 = 10 - 8 رسیدیم. این برابری را می توان به شرح زیر خواند:

2 وجود دارد 10 − 8

آن نشانه است = با کلمه "هست" جایگزین می شود. علاوه بر این ، برابری 2 = 10 - 8 را می توان از زبان ریاضی به زبان کامل انسان ترجمه کرد. سپس می توان آن را به صورت زیر خواند:

شماره 2 وجود داردتفاوت عدد 10 و شماره 8

شماره 2 وجود داردتفاوت بین عدد 10 و عدد 8

اما ما فقط خود را محدود به جایگزینی علامت برابر با کلمه "است" می کنیم ، و سپس همیشه این کار را انجام نمی دهیم. عبارات ابتدایی بدون ترجمه زبان ریاضی به زبان انسان قابل درک است.

بیایید برابری حاصل 2 = 10 - 8 را به حالت اولیه بازگردانیم:

8 + 2 = 10

بیایید این بار عدد 8 را بیان کنیم برای بدست آوردن عدد 8 باید با بقیه اعداد چه کار کنید؟ درست است ، شما باید عدد 2 را از عدد 10 کم کنید

8 = 10 − 2

بیایید برابری حاصل را 8 = 10 - 2 به حالت اولیه بازگردانیم:

8 + 2 = 10

این بار ، بیایید عدد 10 را بیان کنیم. اما معلوم می شود که نیازی به بیان ده نیست ، زیرا قبلاً بیان شده است. کافی است چپ و راست را عوض کنیم ، سپس آنچه را که نیاز داریم به دست می آوریم:

10 = 8 + 2

مثال 2... برابری 8 - 2 = 6 را در نظر بگیرید

اجازه دهید عدد 8 را از این برابری بیان کنیم. برای بیان عدد 8 ، دو عدد باقی مانده باید اضافه شود:

8 = 6 + 2

بیایید برابری حاصل را 8 = 6 + 2 به حالت اولیه بازگردانیم:

8 − 2 = 6

اجازه دهید عدد 2 را از این برابری بیان کنیم. برای بیان عدد 2 ، باید 6 را از 8 کم کنید

2 = 8 − 6

مثال 3... برابری 3 × 2 = 6 را در نظر بگیرید

بیان عدد 3. برای بیان عدد 3 ، به 6 تقسیم بر 2 نیاز دارید

بیایید برابری حاصله را به حالت اولیه بازگردانیم:

3 × 2 = 6

اجازه دهید عدد 2 را از این برابری بیان کنیم. برای بیان عدد 2 ، 6 باید بر 3 تقسیم شود

مثال 4... برابری را در نظر بگیرید

اجازه دهید عدد 15 را از این برابری بیان کنیم. برای بیان عدد 15 ، باید اعداد 3 و 5 را ضرب کنید

15 = 3 × 5

بیایید برابری حاصله 15 = 3 × 5 را به حالت اولیه برگردانیم:

اجازه دهید از این برابری عدد 5 را بیان کنیم. برای بیان عدد 5 ، به 15 تقسیم بر 3 نیاز دارید

قوانین پیدا کردن مجهولات

بیایید چندین قانون برای یافتن ناشناخته ها در نظر بگیریم. شاید با آنها آشنا باشید ، اما تکرار مجدد آنها ضرری ندارد. در آینده ، آنها را می توان فراموش کرد ، زیرا ما نحوه حل معادلات را بدون اعمال این قوانین یاد خواهیم گرفت.

برگردیم به مثال اول ، که در مبحث قبلی در نظر گرفتیم ، جایی که در برابری 8 + 2 = 10 لازم بود عدد 2 را بیان کنیم.

در برابری 8 + 2 = 10 ، اعداد 8 و 2 عبارت هستند و عدد 10 جمع است.

برای بیان عدد 2 ، موارد زیر را انجام دادیم:

2 = 10 − 8

یعنی عبارت 8 از مجموع 10 تفریق می شود.

حال تصور کنید که در برابری 8 + 2 = 10 به جای عدد 2 یک متغیر وجود دارد ایکس

8 + ایکس = 10

در این حالت ، برابری 8 + 2 = 10 به معادله 8 + تبدیل می شود ایکس= 10 و متغیر ایکس اصطلاح ناشناخته

وظیفه ما این است که این عبارت ناشناخته را بیابیم ، یعنی معادله 8 + را حل کنیم ایکس= 10 برای یافتن عبارت ناشناخته ، قانون زیر ارائه شده است:

برای یافتن عبارت ناشناخته ، باید عبارت شناخته شده را از مجموع کم کنید.

آنچه ما اساساً وقتی دو را در برابری 8 + 2 = 10 بیان کردیم انجام دادیم. برای بیان عبارت 2 ، یک عبارت دیگر 8 را از مجموع 10 کم کردیم

2 = 10 − 8

در حال حاضر ، برای پیدا کردن عبارت ناشناخته ایکس، ما باید عبارت معروف 8 را از مجموع 10 کم کنیم:

ایکس = 10 − 8

اگر سمت راست برابری حاصل را محاسبه کنید ، می توانید دریابید که متغیر با چه چیزی برابر است ایکس

ایکس = 2

ما معادله را حل کردیم مقدار متغیر ایکسبرابر 2 است. برای بررسی مقدار متغیر ایکسبه معادله اصلی 8+ ارسال کنید ایکس= 10 و جایگزین ایکس.مطلوب است که این کار را با هر معادله حل شده انجام دهید ، زیرا نمی توانید مطمئن باشید که معادله به درستی حل شده است:

در نتیجه

اگر عبارت ناشناخته اولین عدد 8 باشد ، همین قانون اعمال می شود.

ایکس + 2 = 10

در این معادله ایکسیک عبارت ناشناخته است ، 2 یک عبارت شناخته شده است ، 10 یک مجموع است. برای یافتن عبارت ناشناخته ایکس، لازم است از مجموع 10 عبارت شناخته شده 2 را کم کنیم

ایکس = 10 − 2

ایکس = 8

به مثال دوم از مبحث قبلی بازگردیم ، جایی که در برابری 8 - 2 = 6 لازم بود عدد 8 را بیان کنیم.

در برابری 8 - 2 = 6 ، عدد 8 کم می شود ، عدد 2 کم می شود ، عدد 6 تفاوت است

برای بیان عدد 8 ، موارد زیر را انجام دادیم:

8 = 6 + 2

یعنی تفاوت 6 و تفریق 2 را اضافه کنید.

حال تصور کنید که در برابری 8 - 2 = 6 به جای 8 یک متغیر وجود دارد ایکس

ایکس − 2 = 6

در این حالت ، متغیر ایکسنقش به اصطلاح را بر عهده می گیرد ناشناخته کاهش یافته است

برای یافتن کاهش ناشناخته ، قانون زیر ارائه شده است:

برای یافتن کاهش ناشناخته ها ، لازم است تفریق را به تفاوت اضافه کنید.

این دقیقاً همان کاری است که ما وقتی عدد 8 را در برابری 8 - 2 = 6 بیان کردیم انجام دادیم. برای بیان عدد تفریق شده 8 ، تفریق 2 را به اختلاف 6 اضافه می کنیم.

در حال حاضر ، برای پیدا کردن کوچک ناشناخته ایکس، باید تفریق 2 را به اختلاف 6 اضافه کنیم

ایکس = 6 + 2

اگر سمت راست را محاسبه کنید ، می توانید دریابید که متغیر با چه چیزی برابر است ایکس

ایکس = 8

حال تصور کنید که در برابری 8 - 2 = 6 به جای عدد 2 یک متغیر وجود دارد ایکس

8 − ایکس = 6

در این حالت ، متغیر ایکسنقش را بر عهده می گیرد کسر ناشناخته

برای پیدا کردن کسر ناشناخته ، قانون زیر ارائه شده است:

برای پیدا کردن مجهول تفریق ، باید تفاوت را از تفریق کم کنید.

این دقیقاً همان چیزی است که ما هنگام بیان عدد 2 در برابری 8 - 2 = 6 انجام دادیم. برای بیان عدد 2 ، تفاوت 6 را از 8 کاهش یافته کم می کنیم.

در حال حاضر برای پیدا کردن کسر ناشناخته است ایکس، دوباره ، از 8 کاهش یافته ، اختلاف 6 را کم کنید

ایکس = 8 − 6

سمت راست را محاسبه کرده و مقدار آن را بیابید ایکس

ایکس = 2

به مثال سوم از مبحث قبلی بازگردیم ، جایی که در برابری 3 × 2 = 6 سعی کردیم عدد 3 را بیان کنیم.

در برابری 3 × 2 = 6 ، عدد 3 ضرب کننده است ، عدد 2 عامل است ، عدد 6 محصول است

برای بیان عدد 3 ، موارد زیر را انجام دادیم:

یعنی ما حاصلضرب 6 را بر ضریب 2 تقسیم می کنیم.

حال تصور کنید که در برابری 3 × 2 = 6 به جای عدد 3 یک متغیر وجود دارد ایکس

ایکس× 2 = 6

در این حالت ، متغیر ایکسنقش را بر عهده می گیرد ضرب ناشناخته.

برای یافتن ضرب ناشناخته ، قانون زیر ارائه شده است:

برای یافتن ضرب ناشناخته ، باید محصول را بر یک عامل تقسیم کنید.

این دقیقاً همان کاری است که ما انجام دادیم وقتی عدد 3 را از برابری 3 × 2 = 6 بیان کردیم. ما حاصلضرب 6 را بر ضریب 2 تقسیم می کنیم.

اکنون ، برای یافتن ضرب ناشناخته ایکس، باید محصول 6 را بر ضریب 2 تقسیم کنید.

محاسبه سمت راست به ما اجازه می دهد تا مقدار متغیر را پیدا کنیم ایکس

ایکس = 3

در مورد متغیر نیز همین قانون اعمال می شود ایکسبه جای ضرب کننده قرار دارد ، نه ضرب. تصور کنید که در برابری 3 × 2 = 6 ، به جای عدد 2 ، یک متغیر وجود دارد ایکس.

در این حالت ، متغیر ایکسنقش را بر عهده می گیرد عامل ناشناخته... برای یافتن یک عامل ناشناخته ، همان چیزی که برای یافتن یک ضرب ناشناخته ارائه می شود ، یعنی تقسیم محصول بر یک عامل شناخته شده:

برای یافتن عامل ناشناخته ، باید محصول را بر ضرب تقسیم کنید.

این دقیقاً همان کاری است که ما انجام دادیم وقتی عدد 2 را از برابری 3 × 2 = 6 بیان کردیم. سپس برای بدست آوردن عدد 2 ، محصول 6 را بر ضرب 3 تقسیم می کنیم.

اکنون ، برای یافتن عامل ناشناخته ایکسما محصول 6 را بر ضرب 3 تقسیم کرده ایم.

محاسبه سمت راست برابری به شما این امکان را می دهد که x را بفهمید

ایکس = 2

ضرب و ضرب در مجموع عوامل نامیده می شوند. از آنجا که قوانین برای یافتن ضرب و ضریب یکسان هستند ، می توانیم یک قاعده کلی برای یافتن عامل ناشناخته تنظیم کنیم:

برای یافتن یک عامل ناشناخته ، باید محصول را بر یک عامل شناخته شده تقسیم کنید.

برای مثال ، معادله 9 را حل کنیم ایکس= 18 متغیر ایکسیک عامل ناشناخته است برای یافتن این عامل ناشناخته ، باید محصول 18 را بر عامل شناخته شده 9 تقسیم کنید

بیایید معادله را حل کنیم ایکس× 3 = 27. متغیر ایکسیک عامل ناشناخته است برای یافتن این عامل ناشناخته ، باید محصول 27 را بر عامل شناخته شده 3 تقسیم کنید

بیایید به مثال چهارم از مبحث قبلی بازگردیم ، جایی که لازم بود عدد 15 را بیان کنیم. در این برابری ، عدد 15 تقسیم کننده ، عدد 5 تقسیم کننده و عدد 3 ضریب است.

برای بیان عدد 15 ، موارد زیر را انجام دادیم:

15 = 3 × 5

یعنی ضریب 3 را در تقسیم 5 ضرب می کنیم.

حال تصور کنید که در برابری به جای عدد 15 یک متغیر وجود دارد ایکس

در این حالت ، متغیر ایکسنقش را بر عهده می گیرد سود نامعلوم.

برای پیدا کردن سود نامعلوم ، قانون زیر ارائه شده است:

برای یافتن سود نامعلوم ، باید ضریب را در تقسیم کننده ضرب کنید.

این دقیقاً همان کاری است که ما هنگام بیان عدد 15 از برابری انجام دادیم. برای بیان عدد 15 ، ضریب 3 را در تقسیم 5 ضرب می کنیم.

در حال حاضر ، برای پیدا کردن سود نامعلوم ایکس، باید ضریب 3 را در تقسیم کننده 5 ضرب کنید

ایکس= 5 3 3

ایکس .

ایکس = 15

حال تصور کنید که در برابری به جای عدد 5 یک متغیر وجود دارد ایکس .

در این حالت ، متغیر ایکسنقش را بر عهده می گیرد تقسیم کننده ناشناخته.

برای یافتن تقسیم کننده ناشناخته ، قانون زیر ارائه شده است:

این دقیقاً همان کاری است که ما وقتی عدد 5 را از برابری بیان کردیم انجام دادیم. برای بیان عدد 5 ، تقسیم سود 15 را بر ضریب 3 تقسیم می کنیم.

در حال حاضر ، برای پیدا کردن مقسومه ناشناخته ایکس، باید تقسیم سود 15 را بر ضریب 3 تقسیم کنید

بیایید سمت راست برابری حاصله را محاسبه کنیم. از این طریق می فهمیم که متغیر با چه چیزی برابر است. ایکس .

ایکس = 5

بنابراین ، برای یافتن موارد ناشناخته ، قوانین زیر را مطالعه کردیم:

• برای یافتن عبارت ناشناخته ، باید عبارت شناخته شده را از مجموع کم کنید.
• برای یافتن کاهش ناشناخته ها ، لازم است تفریق را به تفاوت اضافه کنیم.
• برای پیدا کردن مجهول تفریق ، باید تفاوت را از تفریق کسر کنید.
• برای یافتن ضرب ناشناخته ، باید محصول را بر یک عامل تقسیم کنید.
• برای یافتن یک عامل ناشناخته ، باید محصول را بر ضرب تقسیم کنید.
• برای یافتن سود ناشناخته ، باید ضریب را در تقسیم کننده ضرب کنید.
• برای یافتن تقسیم کننده ناشناخته ، باید تقسیم سود را بر ضریب تقسیم کنید.

اجزاء

ما اجزا را اعداد و متغیرهای موجود در برابری می نامیم

بنابراین ، اجزای اضافی عبارتند از: مقرراتو جمع

اجزای تفریق عبارتند از دقیقه دیگر, فرعی کردنو تفاوت

اجزای ضرب عبارتند از: چند ضرب, عاملو کار

اجزای تقسیم تقسیم ، تقسیم و ضریب است

بسته به اینکه با چه م componentsلفه هایی سر و کار داریم ، قوانین مربوط به یافتن ناشناخته ها اعمال می شود. ما این قوانین را در مبحث قبلی مطالعه کردیم. هنگام حل معادلات ، توصیه می شود این قانون را به صورت قلبی بدانید.

مثال 1... ریشه معادله 45 + را بیابید ایکس = 60

45 - ترم ، ایکس- مدت ناشناخته ، 60 - مجموع. ما با اجزای افزودن سروکار داریم. به یاد می آوریم که برای یافتن عبارت ناشناخته ، باید عبارت شناخته شده را از مجموع کم کنید:

ایکس = 60 − 45

ما سمت راست را محاسبه می کنیم ، مقدار را دریافت می کنیم ایکسبرابر با 15

ایکس = 15

بنابراین ریشه معادله 45 + ایکس= 60 15 است

اغلب ، عبارت ناشناخته باید به شکلی کاهش یابد که بتوان آن را در آن بیان کرد.

مثال 2... معادله را حل کنید

در اینجا ، بر خلاف مثال قبلی ، عبارت ناشناخته نمی تواند بلافاصله بیان شود ، زیرا دارای ضریب 2 است. وظیفه ما این است که این معادله را به شکلی کاهش دهیم که در آن بیان آن امکان پذیر باشد ایکس

در این مثال ، ما با اجزای اضافه - شرایط و مجموع سروکار داریم. 2 ایکسآیا عبارت اول است ، 4 عبارت دوم است ، 8 مجموع است.

علاوه بر این ، اصطلاح 2 ایکسشامل یک متغیر است ایکس... پس از یافتن مقدار متغیر ایکسترم 2 ایکسشکل دیگری به خود خواهد گرفت بنابراین ، اصطلاح 2 ایکسمی تواند به طور کامل به عنوان یک عبارت ناشناخته در نظر گرفته شود:

اکنون ما قانون پیدا کردن عبارت ناشناخته را اعمال می کنیم. عبارت شناخته شده را از مجموع کسر کنید:

بیایید سمت راست معادله حاصل را محاسبه کنیم:

ما یک معادله جدید گرفتیم. اکنون ما با اجزای ضرب سروکار داریم: ضرب ، ضرب و محصول. 2 - قابل ضرب ، ایکس- ضرب ، 4 - محصول

در این حالت ، متغیر ایکسفقط یک عامل نیست ، بلکه یک عامل ناشناخته است

برای یافتن این عامل ناشناخته ، باید محصول را بر ضرب تقسیم کنید:

ما سمت راست را محاسبه می کنیم ، مقدار متغیر را دریافت می کنیم ایکس

برای بررسی ، ریشه یافت شده را به معادله اصلی ارسال می کنیم و به جای آن جایگزین می کنیم ایکس

مثال 3... معادله را حل کنید 3ایکس+ 9ایکس+ 16ایکس= 56

ناشناخته ها را فوراً بیان کنید ایکسممنوع است. ابتدا ، شما باید این معادله را به شکلی بیاورید که بتوان آن را بیان کرد.

در سمت چپ این معادله ارائه می دهیم:

ما با اجزای ضرب سر و کار داریم. 28 - قابل ضرب ، ایکس- ضرب ، 56 - محصول. که در آن ایکسیک عامل ناشناخته است برای یافتن عامل ناشناخته ، باید محصول را بر ضرب تقسیم کنید:

از اینجا ایکسبرابر 2 است

معادلات معادل

در مثال قبل ، هنگام حل معادله 3ایکس + 9ایکس + 16ایکس = 56 ، ما اصطلاحات مشابهی را در سمت چپ معادله آورده ایم. در نتیجه ، یک معادله جدید 28 بدست آمد ایکس= 56 معادله قدیمی 3ایکس + 9ایکس + 16ایکس = 56 و معادله جدید حاصله 28 ایکس= 56 فراخوانی می شوند معادلات معادلاز آنجا که ریشه آنها یکسان است

اگر معادله ریشه های آنها منطبق باشد معادل نامیده می شود.

بگذار چک کنیم. برای معادله 3ایکس+ 9ایکس+ 16ایکس= 56 ما ریشه ای برابر با 2 پیدا کردیم. ابتدا ، این ریشه را در معادله جایگزین می کنیم 3ایکس+ 9ایکس+ 16ایکس= 56 و سپس در معادله 28 ایکس= 56 ، که در نتیجه آوردن اصطلاحات مشابه در سمت چپ معادله قبلی بدست آمد. ما باید معادلات عددی درست را بدست آوریم

با توجه به ترتیب اقدامات ، ابتدا ضرب انجام می شود:

ریشه 2 را در معادله دوم 28 جایگزین کنید ایکس= 56

می بینیم که ریشه هر دو معادله با هم منطبق است. از این رو معادلات 3ایکس+ 9ایکس+ 16ایکس= 56 و 28 ایکس= 56 در واقع معادل هستند.

برای حل معادله 3ایکس+ 9ایکس+ 16ایکس= 56 ما از یکی از آنها استفاده کردیم - کاهش اصطلاحات مشابه. تبدیل یکسان و صحیح معادله به ما این امکان را می دهد که معادله ای معادل 28 بدست آوریم ایکس= 56 ، که حل آن آسان تر است.

از دگرگونی های یکسان در حال حاضر ، ما فقط می توانیم کسرها را کاهش دهیم ، اصطلاحات مشابه را بیاوریم ، عامل مشترک را از داخل پرانتز خارج کنیم و همچنین پرانتز را باز کنیم. تغییرات دیگری نیز وجود دارد که باید از آنها آگاه باشید. اما برای یک ایده کلی برای تبدیل یکسان معادلات ، موضوعاتی که ما مطالعه کرده ایم کاملاً کافی است.

برخی دگرگونی ها را در نظر بگیرید که به دست آوردن یک معادله معادل را ممکن می سازد

اگر یک عدد یکسان را به دو طرف معادله اضافه کنید ، معادله ای معادل معادله داده شده بدست می آورید.

و به طور مشابه:

اگر عدد یکسانی را از هر دو طرف معادله کم کنید ، معادله ای معادل معادله داده شده بدست می آورید.

به عبارت دیگر ، اگر یک عدد یکسان (یا از هر دو طرف کم شود) به هر دو طرف معادله اضافه شود ، ریشه معادله تغییر نمی کند.

مثال 1... معادله را حل کنید

از دو طرف معادله 10 را کم کنید

معادله 5 را بدست آوردم ایکس= 10 ما با اجزای ضرب سر و کار داریم. برای یافتن یک عامل ناشناخته ایکس، باید محصول 10 را بر عامل شناخته شده 5 تقسیم کنید.

و به جای آن جایگزین کنید ایکسمقدار 2 پیدا شد

ما برابری عددی صحیح را بدست آوردیم. بنابراین معادله به درستی حل شده است.

حل معادله ما از هر دو طرف معادله 10 را کم می کنیم. در نتیجه ، معادله ای معادل بدست آمد. ریشه این معادله ، مانند معادلات همچنین مساوی 2

مثال 2... حل معادله 4 ( ایکس+ 3) = 16

از دو طرف معادله 12 را کم کنید

در سمت چپ 4 عدد وجود دارد ایکس، و در سمت راست عدد 4

معادله 4 را بدست آوردم ایکس= 4 ما با اجزای ضرب سر و کار داریم. برای یافتن یک عامل ناشناخته ایکس، باید محصول 4 را بر عامل 4 شناخته شده تقسیم کنید

اجازه دهید به معادله اصلی 4 برگردیم ( ایکس+ 3) = 16 و به جای آن جایگزین کنید ایکسمقدار 1 پیدا شد

ما برابری عددی صحیح را بدست آوردیم. بنابراین معادله به درستی حل شده است.

حل معادله 4 ( ایکس+ 3) = 16 ما 12 را از دو طرف معادله کم می کنیم. در نتیجه ، معادله معادل 4 را بدست آوردیم ایکس= 4 ریشه این معادله مانند معادله 4 ( ایکس+ 3) = 16 نیز برابر 1 است

مثال 3... معادله را حل کنید

بیایید پرانتزها را در سمت چپ برابری گسترش دهیم:

عدد 8 را به دو طرف معادله اضافه کنید

ما اصطلاحات مشابهی را در هر دو طرف معادله ارائه می دهیم:

در سمت چپ 2 عدد وجود دارد ایکس، و در سمت راست عدد 9

در معادله حاصل 2 ایکس= 9 ما عبارت ناشناخته را بیان می کنیم ایکس

برگردیم به معادله اصلی و به جای آن جایگزین کنید ایکسمقدار 4.5 را پیدا کرد

ما برابری عددی صحیح را بدست آوردیم. بنابراین معادله به درستی حل شده است.

حل معادله ما عدد 8 را به دو طرف معادله اضافه کردیم در نتیجه معادله ای معادل بدست آوردیم. ریشه این معادله ، مانند معادلات همچنین معادل 4.5

قانون بعدی ، که به شما امکان می دهد معادله ای معادل بدست آورید ، به شرح زیر است

اگر این عبارت را از یک قسمت به قسمت دیگر در معادله منتقل کرده و علامت آن را تغییر دهید ، معادله ای معادل معادله داده شده بدست می آورید.

یعنی اگر عبارت را از یک طرف معادله به طرف دیگر منتقل کرده و علامت آن را تغییر دهیم ، ریشه معادله تغییر نمی کند. این ویژگی یکی از مهمترین و یکی از رایج ترین مواردی است که در حل معادلات استفاده می شود.

معادله زیر را در نظر بگیرید:

ریشه این معادله 2 است ایکساین ریشه و بررسی کنید که آیا برابری عددی صحیح به دست آمده است

برابری صحیح به دست می آید. بنابراین عدد 2 در واقع ریشه معادله است.

حال بیایید سعی کنیم شرایط این معادله را آزمایش کنیم ، آنها را از یک قسمت به قسمت دیگر منتقل کرده و علائم را تغییر دهیم.

به عنوان مثال ، عبارت 3 ایکسدر سمت چپ برابری قرار دارد. بیایید آن را به سمت راست منتقل کنیم ، علامت را به طرف مقابل تغییر دهیم:

معادله معلوم شد 12 = 9ایکس − 3ایکس ... در سمت راست این معادله:

ایکسیک عامل ناشناخته است بیایید این عامل شناخته شده را پیدا کنیم:

از اینجا ایکس= 2 همانطور که می بینید ، ریشه معادله تغییر نکرده است. از این رو معادلات 12 + 3 است ایکس = 9ایکسو 12 = 9ایکس − 3ایکس معادل هستند

در واقع ، این تبدیل یک روش ساده شده از تحول قبلی است ، جایی که تعداد یکسانی به هر دو طرف معادله اضافه (یا تفریق) می شود.

گفتیم که در معادله 12 + 3 ایکس = 9ایکسترم 3 ایکسبه سمت راست منتقل شد و علامت را تغییر داد. در واقع ، موارد زیر اتفاق افتاد: عبارت 3 از هر دو طرف معادله کسر شد ایکس

سپس ، در سمت چپ ، اصطلاحات مشابهی داده شد و معادله به دست آمد 12 = 9ایکس − 3ایکس. سپس دوباره شرایط مشابهی داده شد ، اما در سمت راست ، و معادله 6 = 12 بدست آمد ایکس.

اما به اصطلاح "انتقال" برای چنین معادلاتی راحت تر است ، به همین دلیل بسیار گسترده شده است. هنگام حل معادلات ، ما اغلب از این تبدیل استفاده می کنیم.

معادلات 12 + 3 نیز معادل هستند ایکس= 9ایکسو 3ایکس - 9ایکس= −12 ... این بار در معادله 12 + 3 ایکس= 9ایکسترم 12 به سمت راست منتقل شد و ترم 9 ایکسبه سمت چپ. نباید فراموش کرد که علائم این شرایط در حین انتقال تغییر کرده است

قانون بعدی ، که به شما امکان می دهد معادله ای معادل بدست آورید ، به شرح زیر است:

اگر هر دو طرف معادله در یک عدد ضرب یا تقسیم شوند ، که برابر صفر نیست ، معادله ای معادل معادل بدست می آید.

به عبارت دیگر ، اگر دو طرف معادله در یک عدد ضرب یا تقسیم شوند ، ریشه های معادله تغییر نمی کند. این عمل اغلب زمانی مورد استفاده قرار می گیرد که شما نیاز به حل یک معادله حاوی عبارات کسری داشته باشید.

بیایید ابتدا به مثالهایی نگاه کنیم که در آنها هر دو طرف معادله در یک عدد ضرب می شوند.

مثال 1... معادله را حل کنید

هنگام حل معادلات حاوی عبارات کسری ، در ابتدا معمول است که این معادله را ساده کنیم.

در این مورد ، ما فقط با چنین معادله ای سروکار داریم. برای ساده سازی این معادله ، هر دو طرف آن را می توان در 8 ضرب کرد:

ما به یاد داریم که برای ، شما باید عدد کسر داده شده را در این عدد ضرب کنید. ما دو کسر داریم و هر یک از آنها در عدد 8 ضرب می شود. وظیفه ما این است که اعداد کسرها را در این عدد 8 ضرب کنیم.

حالا سرگرمی اتفاق می افتد. عدد و مخرج هر دو کسر دارای ضریب 8 هستند که می توان آن را تا 8 لغو کرد. این به ما امکان می دهد از عبارت کسری خلاص شویم:

در نتیجه ، ساده ترین معادله باقی می ماند

خوب ، حدس زدن ریشه این معادله 4 سخت نیست

ایکسمقدار 4 پیدا شد

برابری عددی صحیح به دست می آید. بنابراین معادله به درستی حل شده است.

هنگام حل این معادله ، هر دو طرف را در 8 ضرب کردیم. در نتیجه ، معادله را بدست آوردیم. ریشه این معادله مانند معادله 4 است. بنابراین این معادلات معادل هستند.

مرسوم است که عامل ضرب در هر دو طرف معادله را قبل از قسمت معادله بنویسید و نه بعد از آن. بنابراین ، با حل معادله ، هر دو طرف را در ضریب 8 ضرب کردیم و ورودی زیر را بدست آوردیم:

از این رو ، ریشه معادله تغییر نکرد ، اما اگر این کار را در مدرسه انجام می دادیم ، اظهار نظر می شدیم ، زیرا در جبر مرسوم است که عاملی را قبل از عبارتی که با آن ضرب می شود بنویسیم. بنابراین ، توصیه می شود ضرب هر دو طرف معادله را با ضریب 8 به شرح زیر بازنویسی کنید:

مثال 2... معادله را حل کنید

در سمت چپ ، عوامل 15 را می توان 15 و در سمت راست ، عوامل 15 و 5 را می توان 5 کاهش داد.

بیایید پرانتزهای سمت راست معادله را گسترش دهیم:

ما مدت را حمل می کنیم ایکساز سمت چپ معادله به سمت راست با تغییر علامت. و عبارت 15 از سمت راست معادله به سمت چپ منتقل می شود و دوباره علامت را تغییر می دهد:

با توجه به شرایط مشابه در هر دو بخش ، به دست می آوریم

ما با اجزای ضرب سر و کار داریم. متغیر ایکس

برگردیم به معادله اصلی و به جای آن جایگزین کنید ایکسمقدار 5 پیدا شد

برابری عددی صحیح به دست می آید. بنابراین معادله به درستی حل شده است. هنگام حل این معادله ، ما هر دو طرف را در 15 ضرب کردیم. علاوه بر این ، با انجام تغییرات یکسان ، معادله 10 = 2 را بدست آوردیم ایکس... ریشه این معادله ، مانند معادلات برابر 5 است. بنابراین این معادلات معادل هستند.

مثال 3... معادله را حل کنید

در سمت چپ ، می توانید دو سه تایی را ببرید ، و سمت راست آن برابر 18 است

ساده ترین معادله باقی می ماند. ما با اجزای ضرب سر و کار داریم. متغیر ایکسیک عامل ناشناخته است بیایید این عامل شناخته شده را پیدا کنیم:

بیایید به معادله اصلی برگردیم و به جای آن جایگزین کنیم ایکسمقدار 9 پیدا شد

برابری عددی صحیح به دست می آید. بنابراین معادله به درستی حل شده است.

مثال 4... معادله را حل کنید

اجازه دهید هر دو طرف معادله را در 6 ضرب کنیم

براکت های سمت چپ معادله را گسترش دهید. در سمت راست ، ضرب 6 را می توان به عدد بالا آورد:

در هر دو طرف معادلات موارد قابل لغو را کاهش دهید:

بیایید آنچه را که باقی مانده است بازنویسی کنیم:

بیایید از انتقال اصطلاحات استفاده کنیم. اصطلاحات ناشناخته ایکس، ما در سمت چپ معادله گروه بندی می کنیم ، و اصطلاحات بدون مجهولات - در سمت راست:

در اینجا اصطلاحات مشابهی در هر دو بخش آمده است:

حالا بیایید مقدار متغیر را پیدا کنیم ایکس... برای انجام این کار ، محصول 28 را بر عامل شناخته شده 7 تقسیم می کنیم

از اینجا ایکس= 4.

برگردیم به معادله اصلی و به جای آن جایگزین کنید ایکسمقدار 4 پیدا شد

نتیجه برابر بودن عددی صحیح است. بنابراین معادله به درستی حل شده است.

مثال 5... معادله را حل کنید

در صورت امکان ، براکت ها را در هر دو طرف معادله گسترش می دهیم:

اجازه دهید هر دو طرف معادله را در 15 ضرب کنیم

بیایید پرانتزها را در هر دو طرف معادله گسترش دهیم:

در هر دو طرف معادله ، موارد قابل لغو را کاهش دهید:

بیایید آنچه را که باقی مانده است بازنویسی کنیم:

بگذارید براکت ها را در صورت امکان گسترش دهیم:

بیایید از انتقال اصطلاحات استفاده کنیم. ما عبارات حاوی مجهول در سمت چپ معادله و عبارات عاری از مجهولات در سمت راست را گروه بندی می کنیم. فراموش نکنید که در هنگام انتقال ، شرایط علائم خود را به عکس تغییر می دهد:

ما اصطلاحات مشابهی را در هر دو طرف معادله ارائه می دهیم:

مقدار را پیدا کنید ایکس

در پاسخ حاصله ، می توانید کل قسمت را برجسته کنید:

بیایید به معادله اصلی برگردیم و به جای آن جایگزین کنیم ایکسارزش پیدا کرد

به نظر می رسد یک عبارت نسبتاً دست و پا گیر باشد. بیایید از متغیرها استفاده کنیم. سمت چپ برابری را در متغیر قرار می دهیم آ، و سمت راست برابری در متغیر ب

وظیفه ما این است که مطمئن شویم سمت چپ با سمت راست برابر است یا خیر. به عبارت دیگر ، برابری A = B را اثبات کنید

مقدار عبارت را در متغیر A بیابید.

مقدار متغیر آبرابر است حالا بیایید مقدار متغیر را پیدا کنیم ب... یعنی ارزش سمت راست برابری ما. اگر مساوی هم باشد ، معادله به درستی حل می شود

ما می بینیم که مقدار متغیر بمانند مقدار متغیر آبرابر است این بدان معنی است که سمت چپ برابر با سمت راست است. از اینجا نتیجه می گیریم که معادله به درستی حل شده است.

حالا بیایید سعی کنیم هر دو طرف معادله را در یک عدد ضرب نکنیم ، بلکه تقسیم کنیم.

معادله را در نظر بگیرید 30ایکس+ 14ایکس+ 14 = 70ایکس− 40ایکس+ 42 ... اجازه دهید آن را با روش معمول حل کنیم: ما عبارات حاوی مجهولات را در سمت چپ معادله و عبارات عاری از مجهولات را در سمت راست گروه بندی می کنیم. علاوه بر این ، با انجام تحولات شناخته شده هویت ، ارزش را پیدا می کنیم ایکس

مقدار یافت شده را به جای 2 جایگزین کنید ایکسبه معادله اصلی:

حالا بیایید سعی کنیم همه شرایط معادله را جدا کنیم 30ایکس+ 14ایکس+ 14 = 70ایکس− 40ایکس+ 42 توجه داشته باشید که همه اصطلاحات این معادله دارای یک عامل مشترک 2 هستند. ما هر عبارت را بر آن تقسیم می کنیم:

بیایید در هر ترم یک کاهش انجام دهیم:

بیایید آنچه را که باقی مانده است بازنویسی کنیم:

بیایید این معادله را با استفاده از تبدیلهای یکسان معروف حل کنیم:

روت کردم 2 از این رو معادلات 15ایکس+ 7ایکس+ 7 = 35ایکس - 20ایکس+ 21 و 30ایکس+ 14ایکس+ 14 = 70ایکس− 40ایکس+ 42 معادل هستند

تقسیم هر دو طرف معادله به یک عدد ، مجهول را از ضریب حذف می کند. در مثال قبلی ، وقتی معادله 7 را بدست آوردیم ایکس= 14 ، ما باید محصول 14 را بر عامل شناخته شده 7 تقسیم کنیم. اما اگر ما در سمت چپ مجهول را از عامل 7 آزاد کنیم ، ریشه بلافاصله پیدا می شود. برای این کار کافی بود هر دو قسمت را بر 7 تقسیم کنید

ما نیز اغلب از این روش استفاده خواهیم کرد.

ضرب در منهای یک

اگر هر دو طرف معادله در منهای یک ضرب شوند ، معادله ای معادل این بدست می آورید.

این قاعده از این واقعیت ناشی می شود که ضرب (یا تقسیم) هر دو طرف معادله بر یک عدد ، ریشه این معادله را تغییر نمی دهد. این بدان معنی است که اگر هر دو قسمت آن در −1 ضرب شود ، ریشه تغییر نمی کند.

این قانون به شما امکان می دهد علائم همه اجزای موجود در معادله را تغییر دهید. این برای چیست؟ باز هم ، برای بدست آوردن معادله ای معادل که حل آن آسان تر است.

معادله را در نظر بگیرید. ریشه این معادله چیست؟

عدد 5 را به دو طرف معادله اضافه کنید

در اینجا شرایط مشابه وجود دارد:

حالا بیایید در مورد یادآوری کنیم. سمت چپ معادله چیست. این حاصل ضرب یک و متغیر است ایکس

یعنی منهای قبل از متغیر ایکس،به خود متغیر اشاره نمی کند ایکس، اما به یکی ، که ما نمی بینیم ، زیرا معمول است ضریب 1 را ننویسیم. این بدان معناست که معادله در واقع به این شکل است:

ما با اجزای ضرب سر و کار داریم. برای پیدا کردن NS، باید محصول −5 را بر عامل شناخته شده −1 تقسیم کنید.

یا هر دو طرف معادله را بر − 1 تقسیم کنید ، که حتی ساده تر است

بنابراین ، ریشه معادله 5 است. برای بررسی ، آن را در معادله اصلی جایگزین می کنیم. فراموش نکنید که در معادله اصلی منهای مقابل متغیر است ایکسبه یک واحد نامرئی اشاره دارد

نتیجه برابری عددی صحیح است. بنابراین معادله به درستی حل شده است.

حالا بیایید سعی کنیم هر دو طرف معادله را در منهای یک ضرب کنیم:

پس از گسترش براکت ها ، یک عبارت در سمت چپ شکل می گیرد و سمت راست برابر 10 است

ریشه این معادله مانند معادله 5 است

از این رو معادلات و معادل هستند.

مثال 2... معادله را حل کنید

در این معادله ، همه اجزا منفی هستند. کار با اجزای مثبت راحت تر از اجزای منفی است ، بنابراین علائم همه اجزای موجود در معادله را تغییر می دهیم. برای انجام این کار ، هر دو طرف این معادله را در −1 ضرب کنید.

واضح است که از ضرب در −1 ، هر عددی علامت آن را به عکس مخالف تغییر می دهد. بنابراین ، روش ضرب در −1 و باز کردن براکت ها به تفصیل شرح داده نشده است ، اما اجزای معادله با علائم مخالف بلافاصله یادداشت می شوند.

بنابراین ، ضرب یک معادله در − 1 را می توان به طور مفصل به شرح زیر نوشت:

یا می توانید علائم همه اجزا را به سادگی تغییر دهید:

همه چیز یکسان خواهد بود ، اما تفاوت در این است که ما در وقت خود صرفه جویی می کنیم.

بنابراین ، ضرب هر دو طرف معادله در − 1 ، معادله را بدست می آوریم. بیایید این معادله را حل کنیم. 4 را از هر دو قسمت جدا کرده و هر دو قسمت را بر 3 تقسیم کنید

وقتی ریشه پیدا شد ، متغیر معمولاً در سمت چپ و مقدار آن در سمت راست نوشته می شود ، که ما انجام دادیم.

مثال 3... معادله را حل کنید

ما هر دو طرف معادله را در −1 ضرب می کنیم. سپس همه اجزا علائم خود را برعکس تغییر می دهند:

از هر دو طرف معادله بدست آمده 2 را کم کنید ایکسو شرایط مشابه را بیان کنید:

ما وحدت را به هر دو طرف معادله اضافه می کنیم و شرایط مشابهی را ارائه می دهیم:

برابر با صفر

اخیراً آموخته ایم که اگر در یک معادله یک عبارت را از قسمتی به قسمت دیگر منتقل کنیم و علامت آن را تغییر دهیم ، معادله ای معادل معادله بدست آمده بدست می آوریم.

و اگر از یک بخش به قسمت دیگر نه یک ترم ، بلکه همه شرایط را منتقل کنید ، چه اتفاقی می افتد؟ درست است که در بخشی که همه شرایط از آن گرفته شده است صفر باقی می ماند. به عبارت دیگر ، چیزی باقی نخواهد ماند.

به عنوان مثال ، معادله را در نظر بگیرید. ما این معادله را طبق معمول حل می کنیم - اصطلاحات حاوی مجهولات را در یک قسمت گروه بندی می کنیم و در قسمت دیگر عبارات عددی را عاری از مجهولات می گذاریم. علاوه بر این ، با انجام تحولات شناخته شده هویت ، مقدار متغیر را پیدا می کنیم ایکس

حال بیایید سعی کنیم معادله یکسانی را با یکسان سازی همه اجزای آن حل کنیم. برای انجام این کار ، همه شرایط را از سمت راست به چپ منتقل می کنیم و علائم را تغییر می دهیم:

در اینجا اصطلاحات مشابهی در سمت چپ آمده است:

77 را به هر دو قسمت اضافه کنید و هر دو قسمت را بر 7 تقسیم کنید

جایگزینی برای قوانین برای پیدا کردن مجهولات

بدیهی است ، با آگاهی از تغییرات یکسان معادلات ، نیازی به حفظ قوانین برای یافتن مجهولات نیست.

به عنوان مثال ، برای یافتن مجهولات در معادله ، حاصلضرب 10 را بر عامل شناخته شده 2 تقسیم می کنیم

اما اگر در معادله هر دو قسمت بر 2 تقسیم شود ، ریشه به یکباره پیدا می شود. در سمت چپ معادله ، ضریب 2 در شمارنده و ضریب 2 در مخرج 2 کاهش می یابد و سمت راست برابر 5 است

معادلات فرم را با بیان عبارت ناشناخته حل کردیم:

اما شما می توانید از تغییرات یکسانی که امروز ما مطالعه کردیم استفاده کنید. در معادله ، عبارت 4 را می توان با تغییر علامت به سمت راست منتقل کرد:

در سمت چپ معادله ، دو نفر لغو می شوند. سمت راست 2. خواهد بود.

یا می توانید 4 را از هر دو طرف معادله کم کنید و سپس موارد زیر را بدست می آورید:

در مورد معادلات فرم ، تقسیم محصول بر یک عامل شناخته شده راحت تر است. بیایید هر دو راه حل را مقایسه کنیم:

اولین راه حل بسیار کوتاه تر و دقیق تر است. راه حل دوم را می توان با انجام تقسیم بندی در سر خود بسیار کوتاه کرد.

با این حال ، شما باید هر دو روش را بدانید و فقط پس از آن از روشی که بیشتر دوست دارید استفاده کنید.

وقتی چندین ریشه وجود دارد

یک معادله می تواند چندین ریشه داشته باشد. به عنوان مثال معادله ایکس(x + 9) = 0 دو ریشه دارد: 0 و −9.

در معادله ایکس(x + 9) = 0 یافتن چنین مقداری ضروری بود ایکسکه در آن سمت چپ برابر صفر خواهد بود. سمت چپ این معادله شامل عبارات است ایکسو (x + 9)که عوامل هستند. از قوانین ضرب ، می دانیم که اگر صفر باشد اگر حداقل یکی از عوامل صفر باشد (یا عامل اول یا دوم).

یعنی در معادله ایکس(x + 9) = 0 برابر خواهد بود اگر ایکسصفر خواهد شد یا (x + 9)برابر با صفر خواهد بود.

ایکس= 0 یا ایکس + 9 = 0

هر دو عبارت را با صفر برابر کنیم ، می توانیم ریشه های معادله را بیابیم ایکس(x + 9) = 0. ریشه اول ، همانطور که در مثال مشاهده می کنید ، بلافاصله پیدا شد. برای یافتن ریشه دوم ، باید معادله ابتدایی را حل کنید ایکس+ 9 = 0. به راحتی می توان حدس زد که ریشه این معادله −9 است. بررسی نشان می دهد که ریشه درست است:

−9 + 9 = 0

مثال 2... معادله را حل کنید

این معادله دو ریشه دارد: 1 و 2. سمت چپ معادله حاصل عبارات است ( ایکس- 1) و ( ایکس- 2). و محصول صفر است اگر حداقل یکی از عوامل صفر باشد (یا ضریب ( ایکس- 1) یا عامل ( ایکس − 2) ).

بیایید این را پیدا کنیم ایکسجایی که عبارات ( ایکس- 1) یا ( ایکس- 2) ناپدید شدن:

ما به نوبه خود مقادیر پیدا شده را به معادله اصلی تبدیل می کنیم و مطمئن می شویم که برای این مقادیر سمت چپ برابر صفر است:

وقتی بی نهایت ریشه وجود دارد

یک معادله می تواند بی نهایت ریشه داشته باشد. یعنی با جایگزینی هر عددی در چنین معادله ای ، برابری عددی صحیح را بدست می آوریم.

مثال 1... معادله را حل کنید

هر عددی ریشه این معادله است. اگر براکت های سمت چپ معادله را باز کرده و شرایط مشابهی را بیان کنید ، برابر 14 = 14 می شوید. این برابری برای هر کسی به دست خواهد آمد ایکس

مثال 2... معادله را حل کنید

هر عددی ریشه این معادله است. اگر براکت ها را در سمت چپ معادله گسترش دهید ، برابر می شوید 10ایکس + 12 = 10ایکس + 12. این برابری برای هر کسی به دست خواهد آمد ایکس

وقتی ریشه ای وجود ندارد

همچنین اتفاق می افتد که این معادله اصلا راه حل ندارد ، یعنی ریشه ندارد. به عنوان مثال ، معادله ریشه ندارد ، زیرا برای هر مقدار ایکس، سمت چپ معادله با سمت راست برابر نخواهد بود. به عنوان مثال ، اجازه دهید. سپس معادله شکل زیر را می گیرد

مثال 2... معادله را حل کنید

بیایید پرانتزها را در سمت چپ برابری گسترش دهیم:

در اینجا شرایط مشابه وجود دارد:

می بینیم که سمت چپ با سمت راست برابر نیست. و بنابراین برای هر ارزشی خواهد بود y... به عنوان مثال ، اجازه دهید y = 3 .

معادلات حروف

یک معادله می تواند نه تنها شامل اعداد با متغیر ، بلکه حروف نیز باشد.

به عنوان مثال ، فرمول برای پیدا کردن سرعت یک معادله تحت اللفظی است:

این معادله سرعت بدن را در حرکت یکنواخت شتاب می دهد.

یک مهارت مفید توانایی بیان هر جزء در معادله حروف است. به عنوان مثال ، برای تعیین فاصله از معادله ، باید متغیر را بیان کنید s .

اجازه دهید هر دو طرف معادله را در ضرب کنیم t

در سمت راست ، متغیرها tکاهش توسط t

در معادله به دست آمده ، ما سمت چپ و راست را عوض می کنیم:

ما فرمول پیدا کردن فاصله را بدست آورده ایم ، که قبلاً آن را مطالعه کردیم.

بیایید سعی کنیم زمان را از معادله تعیین کنیم. برای این کار باید متغیر را بیان کنید t .

اجازه دهید هر دو طرف معادله را در ضرب کنیم t

در سمت راست ، متغیرها tکاهش توسط tو آنچه برایمان باقی مانده را بازنویسی کنیم:

در معادله به دست آمده v × t = sما هر دو قسمت را به v

در سمت چپ متغیرها قرار دارند vکاهش توسط vو آنچه برایمان باقی مانده را بازنویسی کنیم:

ما فرمول تعیین زمان را بدست آورده ایم ، که قبلاً مطالعه کردیم.

فرض کنید سرعت قطار 50 کیلومتر در ساعت است

v= 50 کیلومتر در ساعت

و فاصله 100 کیلومتر است

s= 100 کیلومتر

سپس معادله تحت اللفظی شکل زیر را به خود می گیرد

زمان را می توان از این معادله پیدا کرد. برای انجام این کار ، باید بتوانید متغیر را بیان کنید t... می توانید از قانون برای یافتن مقسومه ناشناخته با تقسیم سود بر ضریب استفاده کنید و بنابراین مقدار متغیر را تعیین کنید t

یا می توانید از تغییرات یکسان استفاده کنید. ابتدا هر دو طرف معادله را در ضرب کنید t

سپس هر دو قسمت را بر 50 تقسیم کنید

مثال 2 ایکس

از هر دو طرف معادله کم کنید آ

هر دو طرف معادله را با تقسیم کنید ب

a + bx = c، سپس ما یک راه حل آماده خواهیم داشت. کافی است مقادیر مورد نیاز را جایگزین آن کنید. آن مقادیری که جایگزین حروف می شوند a ، b ، cمرسوم است که تماس بگیرید مولفه های... معادلات فرم a + bx = cنامیده می شوند معادله با پارامترها... بسته به پارامترها ، ریشه تغییر می کند.

معادله 2 + 4 را حل کنید ایکس= 10 به نظر می رسد یک معادله حرفی است a + bx = c... به جای انجام تغییرات یکسان ، می توانیم از یک راه حل آماده استفاده کنیم. بیایید هر دو راه حل را مقایسه کنیم:

ما می بینیم که راه حل دوم بسیار ساده تر و کوتاه تر است.

برای یک راه حل آماده ، باید یک نکته کوچک را بیان کنید. پارامتر بنباید صفر باشد (b ≠ 0)از آنجا که تقسیم بر صفر بر مجاز است

مثال 3... معادله حروف داده شده است. از معادله داده شده بیان کنید ایکس

بیایید پرانتزها را در هر دو طرف معادله گسترش دهیم

بیایید از انتقال اصطلاحات استفاده کنیم. پارامترهای حاوی یک متغیر ایکس، ما در سمت چپ معادله گروه بندی می کنیم و پارامترهای عاری از این متغیر - در سمت راست.

در سمت چپ ، عامل را از براکت ها بیرون می آوریم ایکس

بیایید هر دو قسمت را به بیان تقسیم کنیم a - b

در سمت چپ ، عدد و مخرج را می توان به میزان کاهش داد a - b... این است که چگونه متغیر در نهایت بیان می شود ایکس

حال اگر به معادله ای از فرم برخورد کنیم a (x - c) = b (x + d)، سپس ما یک راه حل آماده خواهیم داشت. کافی است مقادیر مورد نیاز را جایگزین آن کنید.

فرض کنید معادله به ما داده شده است 4(ایکس - 3) = 2(ایکس+ 4) ... به نظر می رسد یک معادله است a (x - c) = b (x + d)... ما آن را به دو طریق حل می کنیم: با استفاده از تغییرات یکسان و استفاده از یک راه حل آماده:

برای راحتی ، ما از معادله خارج می کنیم 4(ایکس - 3) = 2(ایکس+ 4) مقادیر پارامتر آ, ب, ج, د ... این به ما امکان می دهد هنگام جایگزینی اشتباه نکنیم:

مانند مثال قبلی ، مخرج در اینجا نباید برابر صفر باشد ( a - b 0). اگر به معادله ای از فرم برخورد کنیم a (x - c) = b (x + d)که در آن پارامترها آو بیکسان خواهد بود ، می توان بدون حل آن گفت که این معادله ریشه ندارد ، زیرا تفاوت اعداد یکسان صفر است.

به عنوان مثال ، معادله 2 (x - 3) = 2 (x + 4)معادله فرم است a (x - c) = b (x + d)... در معادله 2 (x - 3) = 2 (x + 4)گزینه ها آو بهمان اگر شروع به حل آن کنیم ، به این نتیجه می رسیم که سمت چپ با سمت راست برابر نخواهد بود:

مثال 4... معادله حروف داده شده است. از معادله داده شده بیان کنید ایکس

بیایید سمت چپ معادله را به یک مخرج مشترک بیاوریم:

هوشمندتر هر دو قسمت توسط آ

در سمت چپ ایکسخارج از براکت

ما هر دو قسمت را به عبارت تقسیم می کنیم (1 - آ)

معادلات خطی در یک ناشناخته

معادلات مورد بحث در این درس نامیده می شوند معادلات خطی درجه اول با یک مجهول.

اگر معادله در درجه اول داده شود ، شامل تقسیم بر مجهول نباشد و همچنین ریشه هایی از ناشناخته نداشته باشد ، می توان آن را خطی نامید. ما هنوز درجات و ریشه ها را مطالعه نکرده ایم ، بنابراین برای اینکه زندگی خود را پیچیده نکنیم ، کلمه "خطی" به عنوان "ساده" درک می شود.

اکثر معادلات حل شده در این درس در نهایت به ساده ترین معادله ای خلاصه می شود که در آن شما باید محصول را بر یک عامل شناخته شده تقسیم کنید. برای مثال ، معادله 2 ( ایکس+ 3) = 16. حلش کنیم.

با باز کردن براکت ها در سمت چپ معادله ، 2 را دریافت می کنیم ایکس+ 6 = 16. عبارت 6 را به سمت راست ببرید و علامت را تغییر دهید. سپس 2 می گیریم ایکس= 16 - 6. سمت راست را محاسبه کنید ، 2 بدست می آوریم ایکس= 10. برای پیدا کردن ایکس، ما محصول 10 را بر عامل شناخته شده 2 تقسیم می کنیم ایکس = 5.

معادله 2 ( ایکس+ 3) = 16 خطی است. به معادله 2 کاهش یافت ایکس= 10 ، برای یافتن ریشه ای که باید محصول را بر یک عامل شناخته شده تقسیم کرد. این ساده ترین معادله نامیده می شود معادله خطی درجه اول با یک ناشناخته در شکل متعارف... Canonical مترادف ساده یا معمولی است.

معادله خطی درجه اول با یک مجهول در شکل متعارف ، معادله فرم نامیده می شود تبر = ب

معادله ما 2 ایکس= 10 یک معادله خطی درجه اول با یک ناشناخته در شکل متعارف است. این معادله دارای درجه اول است ، یک ناشناخته ، شامل تقسیم بر ناشناخته و ریشه های ناشناخته نیست و به صورت متعارف ارائه شده است ، یعنی در ساده ترین شکل که می توانید به راحتی مقدار را تعیین کنید ایکس... به جای پارامترها آو بمعادله ما شامل اعداد 2 و 10 است. اما یک معادله مشابه می تواند شامل اعداد دیگری باشد: مثبت ، منفی یا صفر.

اگر در معادله خطی آ= 0 و ب= 0 ، سپس معادله بی نهایت ریشه دارد. در واقع ، اگر آبرابر با صفر و ببرابر با صفر است ، سپس معادله خطی تبر= ببه شکل 0 در می آید ایکس= 0 برای هر ارزشی ایکسسمت چپ برابر با سمت راست خواهد بود.

اگر در معادله خطی آ= 0 و ب≠ 0 ، سپس معادله ریشه ندارد. در واقع ، اگر آبرابر با صفر و بمعادل عددی است که برابر صفر نیست ، عدد 5 را بگویید ، سپس معادله تبر = ببه شکل 0 در می آید ایکس= 5 سمت چپ صفر و سمت راست پنج خواهد بود. و صفر برابر پنج نیست.

اگر در معادله خطی آ 0 پوند و بمعادل هر عددی است ، سپس معادله یک ریشه دارد. با تقسیم پارامتر تعیین می شود بدر هر پارامتر آ

در واقع ، اگر آبرابر برخی از اعداد غیر صفر است ، مثلاً 3 و ببرابر عددی است ، عدد 6 را بگویید ، سپس معادله شکل می گیرد.
از اینجا.

روش دیگری برای نوشتن معادله خطی درجه اول با ناشناخته وجود دارد. به نظر می رسد اینطور باشد: تبر - ب= 0 این معادله مشابه است تبر = ب

آیا درس را دوست داشتید؟
به گروه جدید Vkontakte ما بپیوندید و شروع به دریافت اعلانات مربوط به درس های جدید کنید

یکی از سخت ترین مباحث دبستان حل معادلات است.

با دو واقعیت پیچیده می شود:

اول ، کودکان معنی معادله را درک نمی کنند. چرا شماره با حرف جایگزین شد و همه چیز در مورد چیست؟

ثانیاً ، توضیحی که در برنامه درسی به کودکان ارائه می شود ، در بیشتر موارد حتی برای بزرگسالان قابل درک نیست:

برای یافتن عبارت ناشناخته ، باید عبارت شناخته شده را از مجموع کم کنید.
برای یافتن مقسوم علیه ناشناخته ، باید تقسیم سود را بر ضریب تقسیم کنید.
برای یافتن کاهش ناشناخته ها ، لازم است تفاوت را به تفریق اضافه کنیم.

و بنابراین ، با آمدن به خانه ، کودک تقریبا گریه می کند.

والدین به کمک می آیند. و با نگاهی به کتاب درسی ، آنها تصمیم می گیرند به کودک آموزش دهند که "راحت تر" را حل کند.

شما فقط باید اعداد را به یک سمت بچرخانید و علامت را به طرف مقابل تغییر دهید ، می دانید؟

نگاه کنید ، x-3 = 7

منهای سه را به علاوه به هفت منتقل می کنیم ، شمارش می کنیم و x = 10 می شود

در این مرحله ، کودکان معمولاً با شکست برنامه مواجه می شوند.

امضا کردن؟ تغییر دادن؟ عقب انداختن؟ چی؟

- مادر ، پدر! تو هیچی نمیفهمی! آنها در مدرسه به گونه ای دیگر برای ما توضیح دادند !!!
- سپس تصمیم بگیرید که چگونه توضیح دهید!

در همین حال ، در مدرسه ، آموزش موضوع ادامه دارد.

1. ابتدا باید تعیین کنید که کدام جزء از عمل را می خواهید پیدا کنید

5 + x = 17 - شما باید عبارت ناشناخته را پیدا کنید.
x -3 = 7 - شما باید ناشناخته های کاهش یافته را پیدا کنید.
10 = 4 - شما باید ناشناخته های کم شده را پیدا کنید.

2. اکنون باید قانونی را که در بالا ذکر شد به خاطر بسپارید

برای یافتن عبارت ناشناخته ، باید ...

آیا فکر می کنید به خاطر سپردن همه اینها برای یک دانش آموز کوچک دشوار است؟

و همچنین باید این واقعیت را اضافه کنید که با هر کلاس معادلات پیچیده تر می شوند.

در نتیجه ، معلوم می شود که معادلات برای کودکان یکی از سخت ترین مباحث ریاضیات در دبستان است.

و حتی اگر کودک قبلاً در کلاس چهارم باشد ، اما در حل معادلات مشکل داشته باشد ، به احتمال زیاد در درک اصل معادله مشکل دارد. و فقط باید به اصول اولیه برگردید.

این را می توان در 2 مرحله ساده انجام داد:

مرحله اول - درک معادلات را به کودکان بیاموزید.

ما به یک لیوان ساده نیاز داریم.

یک مثال 3 + 5 = 8 بنویسید

و در پایین دایره های "x" وجود دارد. و با چرخاندن لیوان ، عدد "5" را ببندید

زیر لیوان چیست؟

ما مطمئن هستیم که کودک فوراً حدس می زند!

حالا عدد "5" را ببندید. زیر لیوان چیست؟

بنابراین می توانید نمونه هایی را برای کنش ها و بازی های مختلف بنویسید. کودک می فهمد که x = فقط یک علامت نامفهوم نیست ، بلکه یک "شماره پنهان" است

بیشتر در مورد تکنیک - در ویدیو

مرحله دوم - به شما آموزش می دهیم که x در معادله کامل باشد یا قسمتی؟ بزرگترین یا "کوچکترین"؟

برای این ، تکنیک Yabloko برای ما مناسب است.

از فرزند خود بپرسید بزرگترین این معادله کجاست؟

کودک به "17" پاسخ می دهد.

خوب! این سیب ما خواهد بود!

بزرگترین عدد همیشه یک سیب کامل است. بیایید دور بزنیم.

و کل همیشه از بخشهایی تشکیل شده است. بگذارید روی قسمت ها تأکید کنیم.

5 و x قطعات یک سیب هستند.

و از آنجا که x یک قسمت است. کم است یا بیشتر؟ x بزرگ - یا کوچک؟ چگونه آن را پیدا کنم؟

توجه به این نکته ضروری است که در این مورد کودک فکر می کند و درک می کند که چرا برای پیدا کردن x در این مثال ، باید 5 را از 17 کم کنید.

پس از اینکه کودک فهمید که کلید حل صحیح معادلات تعیین کل یا جزء x است ، به راحتی معادلات را حل می کند.

زیرا به خاطر سپردن این قانون هنگام درک آن بسیار ساده تر از برعکس است: حفظ کنید و یاد بگیرید که چگونه به کار ببرید.

این تکنیک ها "Circle" و "Apple" به شما امکان می دهد به کودک بیاموزید که بفهمد چه کار می کند و چرا.

هنگامی که کودک شیئی را درک می کند ، شروع به درک درست آن می کند.

وقتی کودکی موفق می شود ، آن را دوست دارد.

وقتی آن را دوست دارید ، علاقه ، میل و انگیزه وجود دارد.

وقتی انگیزه ظاهر می شود ، کودک خودش را یاد می گیرد.

به فرزند خود بیاموزید که برنامه را بفهمد و سپس فرآیند یادگیری زمان و تلاش بسیار کمتری از شما خواهد گرفت.

آیا توضیح این موضوع را دوست داشتید؟

به این ترتیب ، به سادگی و به آسانی ، به والدین آموزش می دهیم که برنامه درسی مدرسه را در "مدرسه کودکان هوشمند" توضیح دهند.

آیا می خواهید یاد بگیرید که چگونه مطالب را به راحتی و به آسانی در این مقاله برای کودک توضیح دهید؟

سپس همین حالا با کلیک روی دکمه زیر ، به طور رایگان برای 40 درس مدرسه کودکان هوشمند ثبت نام کنید.

از علامت های حروف برای نشان دادن یک شماره ناشناخته استفاده می شود. معنای این حروف است که باید با کمک راه حل های معادله به دنبال آن بود.

با کار بر روی حل معادله ، در مراحل اولیه سعی می کنیم آن را به شکل ساده تری برسانیم که به ما امکان می دهد با استفاده از دستکاری های ساده ریاضی به نتیجه برسیم. برای انجام این کار ، ما اصطلاحات را از چپ به راست انجام می دهیم ، علائم را تغییر می دهیم ، قسمت های جمله را در تعدادی ضرب / تقسیم می کنیم ، براکت ها را باز می کنیم. اما ما همه این اقدامات را تنها با یک هدف انجام می دهیم - برای بدست آوردن یک معادله ساده.

معادله \ - معادله ای با یک شکل خطی ناشناخته است که در آن r و c نماد مقادیر عددی هستند. برای حل معادله از این نوع ، انتقال اعضای آن ضروری است:

به عنوان مثال ، ما باید معادله زیر را حل کنیم:

حل این معادله را با انتقال شرایط آن شروع می کنیم: c \ [x \] - به سمت چپ ، بقیه - به راست. هنگام انتقال ، به یاد داشته باشید که \ [+ \] به \ [-. \] تغییر می کند:

\ [- 2x + 3x = 5-3 \]

پس از انجام عملیات ساده حساب ، نتیجه زیر را بدست می آوریم:

کجا می توانید معادله را با x آنلاین حل کنید؟

می توانید معادله را با x بصورت آنلاین در وب سایت ما https: // site حل کنید. یک حل کننده آنلاین رایگان به شما این امکان را می دهد که معادله ای با هر گونه پیچیدگی را در عرض چند ثانیه حل کنید. تنها کاری که باید انجام دهید این است که داده های خود را در حل کننده وارد کنید. همچنین می توانید آموزش ویدئویی را تماشا کرده و نحوه حل معادله را در وب سایت ما بیاموزید. و اگر هنوز س questionsالی دارید ، می توانید آنها را در گروه Vkontakte ما http://vk.com/pocketteacher بپرسید. به گروه ما بپیوندید ، ما همیشه خوشحالیم که به شما کمک کنیم.

حل معادلات با کسربیایید نمونه ها را بررسی کنیم. مثالها ساده و گویا هستند. با کمک آنها ، شما قادر خواهید بود به قابل فهم ترین روش یاد بگیرید ،.
به عنوان مثال ، شما می خواهید یک معادله ساده x / b + c = d را حل کنید.

معادلات این نوع خطی نامیده می شوند ، زیرا مخرج فقط شامل اعداد است.

راه حل با ضرب هر دو طرف معادله در b انجام می شود ، سپس معادله به صورت x = b * (d - c) به دست می آید ، یعنی مخرج کسر در سمت چپ لغو می شود.

برای مثال ، نحوه حل معادله کسری:
x / 5 + 4 = 9
هر دو قسمت را در 5 ضرب می کنیم: بدست می آوریم:
x + 20 = 45
x = 45 - 20 = 25

مثال دیگر ، وقتی مجهول در مخرج است:

معادلات از این نوع ، منطقی کسری یا صرفاً کسری نامیده می شوند.

با از بین بردن کسرها ، معادله کسری را حل می کنیم ، پس از آن این معادله ، اغلب به صورت خطی یا مربعی تبدیل می شود که به روش معمول حل می شود. شما فقط باید نکات زیر را در نظر بگیرید:

• مقدار متغیری که مخرج را به 0 تبدیل می کند نمی تواند ریشه باشد.
• شما نمی توانید یک معادله را با عبارت = 0 تقسیم یا ضرب کنید.

در اینجا چنین مفهومی مانند محدوده مقادیر مجاز (ODV) به اجرا در می آید - اینها ارزشهای ریشه معادله ای است که معادله برای آنها معنا دارد.

بنابراین ، با حل معادله ، لازم است ریشه ها را پیدا کرده و سپس آنها را برای مطابقت با ODZ بررسی کنید. ریشه هایی که با ODZ ما مطابقت ندارند از پاسخ خارج می شوند.

به عنوان مثال ، شما باید معادله کسری را حل کنید:

بر اساس قاعده فوق ، x نمی تواند = 0 باشد ، یعنی ODZ در این مورد: x - هر مقداری غیر از صفر.

ما با ضرب همه شرایط معادله در x از شر مخرج خلاص می شویم

و معادله معمول را حل می کنیم

5x - 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

پاسخ: x = 1/3

بیایید معادله پیچیده تری را حل کنیم:

ODZ نیز در اینجا وجود دارد: x -2.

با حل این معادله ، ما همه چیز را به یک طرف منتقل نمی کنیم و کسرها را به یک مخرج مشترک کاهش می دهیم. ما بلافاصله هر دو طرف معادله را با عبارتی ضرب می کنیم که همه مخرج ها را به یکباره لغو می کند.

برای کاهش مخرج ها ، باید سمت چپ را در x + 2 و سمت راست را در 2 ضرب کنید. بنابراین ، هر دو طرف معادله باید در 2 ضرب شوند (x + 2):

این متداول ترین ضرب کسری است که قبلاً در بالا به آن پرداخته ایم.

بیایید یک معادله مشابه بنویسیم ، اما به روشی کمی متفاوت

سمت چپ با (x + 2) و سمت راست با 2 لغو می شود. پس از لغو ، معادله خطی معمول را بدست می آوریم:

x = 4 - 2 = 2 ، که مربوط به ODZ ما است

پاسخ: x = 2.

حل معادلات با کسرآنقدرها هم که به نظر می رسد دشوار نیست در این مقاله ، ما این را با مثال نشان دادیم. اگر با آن مشکل دارید ، نحوه حل معادلات با کسر، سپس اشتراک در نظرات را لغو کنید.