Тестирование по теории вероятностей и математической статистике. Тесты по некоторым темам теории вероятностей. Тема: Одномерные случайные величины

Приведенные к настоящему моменту в открытом банке задач ЕГЭ по математике (mathege.ru), решение которых основано на одной лишь формуле, представляющей собой классическое определение вероятности.

Понять формулу проще всего на примерах.
Пример 1. В корзине 9 красных шаров и 3 синих. Шары различаются только цветом. Наугад (не глядя) достаём один из них. Какова вероятность того, что выбранный таким образом шар окажется синего цвета?

Комментарий. В задачах по теории вероятности происходит нечто (в данном случае наше действие по вытаскиванию шара), что может иметь разный результат - исход. Нужно заметить, что на результат можно смотреть по-разному. "Мы вытащили какой-то шар" - тоже результат. "Мы вытащили синий шар" - результат. "Мы вытащили именно вот этот шар из всех возможных шаров" - такой наименее обобщенный взгляд на результат называется элементарным исходом. Именно элементарные исходы имеются в виду в формуле для вычисления вероятности.

Решение. Теперь вычислим вероятность выбора синего шара.
Событие А: "выбранный шар оказался синего цвета"
Общее число всех возможных исходов: 9+3=12 (количество всех шаров, которые мы могли бы вытащить)
Число благоприятных для события А исходов: 3 (количество таких исходов, при которых событие А произошло, - то есть, количество синих шаров)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Ответ: 0,25

Посчитаем для той же задачи вероятность выбора красного шара.
Общее число возможных исходов останется тем же, 12. Число благоприятных исходов: 9. Искомая вероятность: 9/12=3/4=0,75

Вероятность любого события всегда лежит в пределах от 0 до 1.
Иногда в повседневной речи (но не в теории вероятности!) вероятность событий оценивают в процентах. Переход между математической и разговорной оценкой осуществляется путем умножения (или деления) на 100%.
Итак,
При этом вероятность равна нулю у событий, которые не могут произойти - невероятны. Например, в нашем примере это была бы вероятность вытащить из корзины зеленый шар. (Число благоприятных исходов равно 0, Р(А)=0/12=0, если считать по формуле)
Вероятность 1 имеют события, которые абсолютно точно произойдут, без вариантов. Например, вероятность того, что «выбранный шар окажется или красным или синим» - для нашей задачи. (Число благоприятных исходов: 12, Р(А)=12/12=1)

Мы рассмотрели классический пример, иллюстрирующий определение вероятности. Все подобные задачи ЕГЭ по теории вероятности решаются применением данной формулы.
На месте красных и синих шаров могут быть яблоки и груши, мальчики и девочки, выученные и невыученные билеты, билеты, содержащие и не содержащие вопрос по какой-то теме (прототипы , ), бракованные и качественные сумки или садовые насосы (прототипы , ) – принцип остается тем же.

Немного отличаются формулировкой задачи теории вероятности ЕГЭ, где нужно вычислить вероятность выпадения какого-то события на определенный день. ( , ) Как и в предыдущих задачах нужно определить, что является элементарным исходом, после чего применить ту же формулу.

Пример 2. Конференция длится три дня. В первый и второй день выступают по 15 докладчиков, в третий день – 20. Какова вероятность того, что доклад профессора М. выпадет на третий день, если порядок докладов определяется жеребьевкой?

Что здесь является элементарным исходом? – Присвоение докладу профессора какого-то одного из всех возможных порядковых номеров для выступления. В жеребьевке участвует 15+15+20=50 человек. Таким образом, доклад профессора М. может получить один из 50 номеров. Значит, и элементарных исходов всего 50.
А какие исходы благоприятные? – Те, при которых окажется, что профессор будет выступать в третий день. То есть, последние 20 номеров.
По формуле вероятность P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Ответ: 0,4

Жеребьевка здесь представляет собой установление случайного соответствия между людьми и упорядоченными местами. В примере 2 установление соответствия рассматривалось с точки зрения того, какое из мест мог бы занять конкретный человек. Можно к той же ситуации подходить с другой стороны: кто из людей с какой вероятностью мог бы попасть на конкретное место (прототипы , , , ):

Пример 3. В жеребьевке участвуют 5 немцев, 8 французов и 3 эстонца. Какова вероятность того, что первым (/вторым/седьмым/последним – не важно) будет выступать француз.

Количество элементарных исходов – количество всех возможных людей, которые могли бы по жеребьевке попасть на данное место. 5+8+3=16 человек.
Благоприятные исходы – французы. 8 человек.
Искомая вероятность: 8/16=1/2=0,5
Ответ: 0,5

Немного отличается прототип . Остались задачи про монеты () и игральные кости (), несколько более творческие. Решение этих задач можно посмотреть на страницах прототипов.

Приведем несколько примеров на бросание монеты или кубика.

Пример 4. Когда подбрасываем монету, какова вероятность выпадения решки?
Исходов 2 – орел или решка. (считается, что монета никогда не падает на ребро) Благоприятный исход – решка, 1.
Вероятность 1/2=0,5
Ответ: 0,5.

Пример 5. А если подбрасываем монету два раза? Какова вероятность того, что оба раза выпадет орел?
Главное определить, какие элементарные исходы будем рассматривать при подбрасывании двух монет. После подбрасывания двух монет может получиться один из следующих результатов:
1) PP – оба раза выпала решка
2) PO – первый раз решка, второй раз орел
3) OP – первый раз орел, второй раз решка
4) OO – оба раза выпал орел
Других вариантов нет. Значит, элементарных исходов 4. Благоприятный из них только первый, 1.
Вероятность: 1/4=0,25
Ответ: 0,25

Какова вероятность того, что из двух подбрасываний монеты один раз выпадет решка?
Количество элементарных исходов то же, 4. Благоприятные исходы – второй и третий, 2.
Вероятность выпадения одной решки: 2/4=0,5

В таких задачах может пригодиться ещё одна формула.
Если при одном бросании монеты возможных вариантов результата у нас 2, то для двух бросаний результатов будет 2·2=2 2 =4 (как в примере 5), для трех бросаний 2·2·2=2 3 =8, для четырех: 2·2·2·2=2 4 =16, … для N бросаний возможных результатов будет 2·2·...·2=2 N .

Так, можно найти вероятность выпадения 5 решек из 5 бросаний монеты.
Общее число элементарных исходов: 2 5 =32.
Благоприятных исходов: 1. (РРРРР – все 5 раз решка)
Вероятность: 1/32=0,03125

То же верно и для игральной кости. При одном бросании возможных результатов здесь 6. Значит, для двух бросаний: 6·6=36, для трех 6·6·6=216, и т. д.

Пример 6. Бросаем игральную кость. Какова вероятность, что выпадет четное число?

Всего исходов: 6, по числу граней.
Благоприятных: 3 исхода. (2, 4, 6)
Вероятность: 3/6=0,5

Пример 7. Бросаем две игральные кости. Какова вероятность, что в сумме выпадет 10? (округлить до сотых)

Для одного кубика 6 возможных исходов. Значит, для двух, по вышеупомянутому правилу, 6·6=36.
Какие исходы будут благоприятными для того, чтоб в сумме выпало 10?
10 надо разложить на сумму двух чисел от 1 до 6. Это можно сделать двумя способами: 10=6+4 и 10=5+5. Значит, для кубиков возможны варианты:
(6 на первом и 4 на втором)
(4 на первом и 6 на втором)
(5 на первом и 5 на втором)
Итого, 3 варианта. Искомая вероятность: 3/36=1/12=0,08
Ответ: 0,08

Другие типы задач B6 будут рассмотрены в одной из следующих статей «Как решать».

Вариант 1.

Под случайным событием, связанным с некоторым опытом, понимается всякое событие, которое при осуществлении этого опыта

а) не может произойти;

б) либо происходит, либо нет;

в) обязательно произойдет.

Если событие А происходит тогда и только тогда, когда происходит событие В , то их называют

а) равносильными;

б) совместными;

в) одновременными;

г) тождественными.

Если полная система состоит из 2-х несовместных событий, то такие события называются

а) противоположными;

б) несовместными;

в) невозможными;

г) равносильными.

А 1 – появление четного числа очков. Событие А 2 - появление 2-х очков. Событие А 1  А 2 состоит в том, что выпало

а) 2; б) 4; в) 6; г) 5.

Вероятность достоверного события равна

а) 0; б) 1; в) 2; г) 3.

Вероятность произведения двух зависимых событий А и В вычисляется по формуле

а) Р(А В) = Р(А) Р(В); б) Р(А В) = Р(А)+Р(В) – Р(А) Р(В);

в) Р(А В) = Р(А)+Р(В) + Р(А) Р(В); г) Р(А В) = Р(А) Р(А | В).

Из 25 экзаменационных билетов, занумерованных числами от 1 до 25, студент наудачу извлекает 1. Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен, если он знает ответы на 23 билета?

а) ; б) ; в) ; г) .

В коробке 10 шаров: 3 белых, 4 черных, 3 синих. Наудачу вытащили 1 шарик. Какова вероятность, что он будет либо белым, либо черным?

а) ; б) ; в) ; г) .

Имеется 2 ящика. В первом 5 стандартных и 1 нестандартная деталь. Во втором 8 стандартных и 2 нестандартные детали. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Какова вероятность того, что вынутые детали окажутся стандартными?

а) ; б) ; в) ; г) .

Из слова «математика » выбирается наугад одна буква. Какова вероятность того, что эта буква «а »?

а) б) ; в) ; г) .

Вариант 4.

Если событие в данном опыте не может произойти, то оно называется

а) невозможным;

б) несовместным;

в) необязательным;

г) недостоверным.

Опыт с подбрасыванием игральной кости. Событие А выпадает число очков не большее 3. Событие В выпадает четное число очков. Событие А  В состоит в том, что выпала грань с номером

а) 1; б) 2; в) 3; г) 4.

События, образующие полную систему попарно несовместных и равновероятных событий называются

а) элементарными;

б) несовместными;

в) невозможными;

г) достоверными.

а) 0; б) 1; в) 2; г) 3.

В магазин поступило 30 холодильников. 5 из них имеют заводской дефект. Случайным образом выбирается один холодильник. Какова вероятность, что он будет без дефекта?

а) ; б); в) ; г) .

Вероятность произведения двух независимых событий А и В вычисляется по формуле

а) Р(А В) = Р(А) Р(В | А); б) Р(А В) = Р(А) + Р(В) – Р(А) Р(В);

в) Р(А В) = Р(А) + Р(В) + Р(А) Р(В); г) Р(А В) = Р(А) Р(В).

В классе 20 человек. Из них 5 отличников, 9 хорошистов, 3 имеют тройки и 3 имеют двойки. Какова вероятность того, что выбранный случайно ученик либо хорошист, либо отличник?

а) ; б) ; в) ; г) .

9. В первой коробке 2 белых и 3 черных шара. Во второй коробке 4 белых и 5 черных шаров. Наудачу извлекают из каждой коробке по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми?

а) ; б) ; в) ; г) .

10. Вероятность достоверного события равна

а) 0; б) 1; в) 2; г) 3.

Вариант 3.

Если в данном опыте никакие два из событий не могут произойти одновременно, то такие события называются

а) несовместными;

б) невозможными;

в) равносильными;

г) совместными.

Совокупность несовместных событий таких, что в результате опыта должно произойти хотя бы одно из них называются

а) неполной системой событий; б) полной системой событий;

в) целостной системой событий; г) не целостной системой событий.

Произведением событий А 1 и А 2

а) происходит событие А 1 , событие А 2 не происходит;

б) происходит событие А 2 , событие А 1 не происходит;

в) события А 1 и А 2 происходят одновременно.

В партии из 100 деталей 3 бракованных. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется бракованной?

а)
; б) ; в)
;
.

Сумма вероятностей событий образующих полную систему равна

а) 0; б) 1; в) 2; г) 3.

Вероятность невозможного события равна

а) 0; б) 1; в) 2; г) 3.

А и В вычисляется по формуле

а) Р(А+В) = Р(А) + Р(В); б) Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А В);

в) Р(А+В) = Р(А) + Р(В) + Р(А В); г) Р(А+В) = Р(А В) – Р(А) + Р(В).

На полке в произвольном порядке расставлено 10 учебников. Из них 1 по математике, 2 по химии, 3 по биологии и 4 по географии. Студент произвольно взял 1 учебник. Какова вероятность того, что он будет либо по математике, либо по химии?

а) ; б) ; в) ; г) .

а) несовместными;

б) независимыми;

в) невозможными;

г) зависимыми.

В двух коробках находятся карандаши одинаковой величины и формы. В первой коробке: 5 красных, 2 синих и 1 черный карандаш. Во второй коробке: 3 красных, 1 синий и 2 желтых. Наудачу извлекают по одному карандашу из каждой коробки. Какова вероятность того, что оба карандаша будут синими?

а) ; б) ; в) ; г) .

Вариант 2.

Если событие происходит в данном опыте обязательно, то оно называется

а) совместным;

б) реальным;

в) достоверным;

г) невозможным.

Если появление одного из событий не исключает появление другого в одном и том же испытании, то такие события называются

а) совместными;

б) несовместными;

в) зависимыми;

г) независимыми.

Если наступление события В не оказывает ни какого влияния на вероятность наступления события А, и наоборот, наступление события А не оказывает ни какого влияния на вероятность наступления события В, то события А и В называются

а) несовместными;

б) независимыми;

в) невозможными;

г) зависимыми.

Суммой событий А 1 и А 2 называется событие, которое осуществляется в том случае, когда

а) происходит хотя бы одно из событий А 1 или А 2 ;

б) события А 1 и А 2 не происходят;

в) события А 1 и А 2 происходят одновременно.

Вероятность любого события есть неотрицательное число, не превосходящее

а) 1; б) 2; в) 3; г) 4.

Из слова «автоматика » выбирается наугад одна буква. Какова вероятность того, что это будет буква «а »?

а) ; б) ; в) ; г) .

Вероятность суммы двух несовместных событий А и В вычисляется по формуле

а) Р(А+В) = Р(А) + Р(В); б) Р(А+В) = Р(А В) – Р(А) + Р(В);

в) Р(А+В) = Р(А) + Р(В) + Р(А В); г) Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А В).

В первой коробке 2 белых и 5 черных шаров. Во второй коробке 2 белых и 3 черных шара. Из каждой коробки наудачу вынули по 1 шару. Какова вероятность, что оба шара окажутся черными?

а) ; б) ; в) ; г) .

1 вариант

1. Опыт произвели n раз, событие А при этом произошло m раз. Найти частоту появления события А: n=m=100

2. Бросили игральную кость. Какова вероятность, что выпадет четное число очков

Ответ:

1 2 – 2-ая деталь бракованная, А 3 – 3-ья деталь бракованная. Записать событие: В – все детали бракованные.

Ответ:

– работает –ый котел (=1,2,3). Записать событие: установка работает машинно-котельная установка работает, если работает машина и хотя бы один котел.

Ответ:

5.На полке расставили n-томное собрание сочинений в произвольном порядке. Какова вероятность того, что книги стоят в порядке возрастания номеров томов, если n = 5.

Ответ:

6. В группе 8 девушек и 6 юношей. Их разделили на две равные подгруппы. Сколько исходов благоприятствуют событию: все юноши окажутся в одной подгруппе?

7. Монету подбросили 3 раза. Какова вероятность того, что “орел” выпадет 3 раза.

Ответы:

8. В ящике 25 шаров, из них 10 белых, 7 голубых, 3 желтых, 5 синих. Найти вероятность того, что наудачу вынутый шар белый.

Ответы:

9. Выбрать правильный ответ:

Ответы:

10. Выбрать правильный ответ: Формула полной вероятности

11. Найти Р (АВ), если

Ответы:

12. Найти , если Р(А) = 0,2

13. События А и В несовместимы. Найти Р(А + В), если Р(А) = Р(В)= 0,3

14. Найти Р (А+В), если Р(А)=Р(В)=0,3 Р(АВ)=0,1

15. Опыт произвели n раз. Событие А произошло при этом m раз. Найти частоту появления события А: n = 10, m = 2

16. Наивероятнейшим числом появлений события при повторении испытаний находим по формуле:

17. Сумма произведений каждого значения ДСВ на соответствующую вероятность называется.

р = 0,9; n = 10

22. . Задан биномиальный закон распределения ДСВ. Найти Р (х

23. Найти соответствующую формулу: М(х) = ?

Ответы:

Найти .

Ответы:

27. Случайная величина имеет равномерное распределение, если

Ответы:

Ответ: а) б)

в) г)

30. В формуле

Ответы:

Тест по предмету «Теория вероятности и математическая статистика»

2 вариант

1. Опыт произвели n раз, событие А при этом произошло m раз. Найти частоту появления события А: n=1000; m=100

Ответ: а) 0,75 б) 1 в) 0,5 г) 0,1

2. Бросили игральную кость. Какова вероятность, что выпадет больше четырех очков

Ответ:

3. В ящике 20 стандартных деталей и 7 бракованных. Вытащили три детали. Событие А 1 – 1-ая деталь бракованная, А 2 – 2-ая деталь бракованная, А 3 – 3-ья деталь бракованная. Записать событие: В – все детали стандартные.

Ответ:

4. Пусть А– работает машина, В – работает –ый котел (=1,2,3). Записать событие: установка работает машинно-котельная установка работает, если работает машина и хотя бы два котла.

Ответ:

5.На полке расставили n-томное собрание сочинений в произвольном порядке. Какова вероятность того, что книги стоят в порядке возрастания номеров томов, если n = 8.

Ответ:

6. В группе 8 девушек и 6 юношей. Их разделили на две равные подгруппы. Сколько исходов благоприятствуют событию: 2 юноши окажутся в одной подгруппе, а 4 в другой?

Ответы а) 8 б) 168 в) 840 г) 56

7. Монету подбросили 3 раза. Какова вероятность того, что “орел” выпадет 1 раз.

Ответы:

8. В ящике 25 шаров, из них 10 белых, 7 голубых, 3 желтых, 5 синих. Найти вероятность того, что наудачу вынутый шар голубой.

Ответы:

9. Выбрать правильный ответ:

Ответы:

10. Выбрать правильный ответ: Формула Бернулли

11. Найти Р (АВ), если

Ответы:

12. Найти , если Р(А) = 0,8

Ответы: а) 0,5 б) 0,8 в) 0,2 г) 0,6

13. События А и В несовместимы. Найти Р(А + В), если Р(А) = 0,25 Р(В)= 0,45

Ответы: а) 0,9 б) 0,8 в) 0,7 г) 0,6

14. Найти Р (А+В), если Р(А)=0,2 Р(В)=0,8 Р(АВ)=0,1

Ответы: а) 0,5 б) 0,6 в) 0,9 г) 0,7

15. Опыт произвели n раз. Событие А произошло при этом m раз. Найти частоту появления события А: n = 20, m = 3

Ответы: а) б) 0,2 в)0,25 г) 0,15

16. Локальная теорема Муавра-Лапласа

17. Математическое ожидание квадрата разности между случайной величиной Х и ее математическим ожиданием называется:

Ответы: а) дисперсией случайной величины б) математическим ожиданием ДСВ

В) средним квадратическим отклонением г) законом распределения ДСВ

18. Вероятность безотказной работы одной ячейки доильной установки равна р. Х – число безотказно работающих ячеек доильной установки во время дойки n коров. Найти М (х).

р = 0,8; n = 9

Ответы: а) 8,4 б) 6 в) 7,2 г) 9

19. Вероятность безотказной работы одной ячейки доильной установки равна р. Х – число безотказно работающих ячеек доильной установки во время дойки n коров. Найти Д (х).

р = 0,8; n = 9

Ответы: а) 2,52 б)3, 6 в) 1,44 г) 0, 9

20. Задан биномиальный закон распределения ДСВ. Найти М(х).

Ответы: а) 2,8 б) 1,2 в) 2,4 г) 0,8

21. Задан биномиальный закон распределения ДСВ. Найти Д(х).

Ответы: а) 0,96 б) 0,64 в) 0,36 г) 0,84

22. Задан биномиальный закон распределения ДСВ. Найти Р (х >2).

Ответы: а) 0,0272 б) 0,0272 в)0,3398 г) 0,1792

23. Найти соответствующую формулу: Д(х) = ?

Ответы:

24. Задан закон распределения ДСВ. Найти М(х).

Ответ: а) 3,8 б) 4,2 в) 0,7 г) 1,9

25.Задан закон распределения ДСВ . Найти.

Ответы:

27. Случайная величина имеет нормальное распределение, если

Ответы:

28. Найти дифференциальную функцию распределения f(x),если

Ответы:

29. Найти интегральную функцию распределения F(x), если

Ответ: а) б)

в) г)

30. В формуле

Ответы:

Тест по предмету «Теория вероятности и математическая статистика»

3 вариант

1. Опыт произвели n раз, событие А при этом произошло m раз. Найти частоту появления события А: n=500 m=255

Ответ: а) 0,75 б) 1 в) 0,5 г) 0,1

2. Бросили игральную кость. Какова вероятность, что выпадет меньше пяти очков

Ответ:

4. Пусть А – работает машина, В – работает –ый котел (=1,2,3). Записать событие: установка работает машинно-котельная установка работает, если работает машина и все котлы.

Ответ:

5.На полке расставили n-томное собрание сочинений в произвольном порядке. Какова вероятность того, что книги сто ят в порядке возрастания номеров томов, если n = 10.

Ответ:

6. В группе 8 девушек и 6 юношей. Их разделили на две равные подгруппы. Сколько исходов благоприятствуют событию: 3 юноши окажутся в одной подгруппе, а 3 в другой?

Ответы а) 8 б) 168 в) 840 г) 56

7. Монету подбросили 3 раза. Какова вероятность того, что “орел” выпадет хотя бы 1 раз.

Ответы:

8. В ящике 25 шаров, из них 10 белых, 7 голубых, 3 желтых, 5 синих. Найти вероятность того, что наудачу вынутый шар желтый.

Ответы:

9. Выбрать правильный ответ:

Ответы:

10. Выбрать правильный ответ: Формула Байсса

11. Найти Р (АВ), если

Ответы:

12. Найти , если Р(А) = 0,5

Ответы: а) 0,5 б) 0,8 в) 0,2 г) 0,6

13. События А и В несовместимы. Найти Р(А + В), если Р(А) = 0,7 Р(В)= 0,1

Ответы: а) 0,9 б) 0,8 в) 0,7 г) 0,6

14. Найти Р (А+В), если Р(А)=0,5 Р(В)=0,2 Р(АВ)=0,1

Ответы: а) 0,5 б) 0,6 в) 0,9 г) 0,7

15. Опыт произвели n раз. Событие А произошло при этом m раз. Найти частоту появления события А: n = 40, m = 10

Ответы: а) б) 0,2 в)0,25 г) 0,15

16. Интегральная теорема Лапласа

17. Корень квадратный из дисперсии случайной величины, называется:

Ответы: а) дисперсией случайной величины б) математическим ожиданием ДСВ

В) средним квадратическим отклонением г) законом распределения ДСВ

р = 0,7; n = 12

Ответы: а) 8,4 б) 6 в) 7,2 г) 9

р = 0,7; n = 12

Ответы: а) 2,52 б)3, 6 в) 1,44 г) 0, 9

20. Задан биномиальный закон распределения ДСВ. Найти М(х).

Ответы: а) 2,8 б) 1,2 в) 2,4 г) 0,8

21. Задан биномиальный закон распределения ДСВ. Найти Д(х).

Ответы: а) 0,96 б) 0,64 в) 0,36 г) 0,84

22. Задан биномиальный закон распределения ДСВ. Найти Р(0

Ответы: а) 0,0272 б) 0,0272 в)0,3398 г) 0,1792

(х) = ?

Ответы:

24. Задан закон распределения ДСВ. Найти М(х).

Ответ: а) 3,8 б) 4,2 в) 0,7 г) 1,9

25.Задан закон распределения ДСВ . Найти

Ответы:

27. Случайная величина имеет показательное распределение, если

Ответы:

28. Найти дифференциальную функцию распределения f(x),если

Ответы:

29. Найти интегральную функцию распределения F(x), если

Ответ: а) б)

в) г)

30. В формуле

Ответы:

Тест по предмету «Теория вероятности и математическая статистика»

4 вариант

1. Опыт произвели n раз, событие А при этом произошло m раз. Найти частоту появления события А: n=400 m=300

Ответ: а) 0,75 б) 1 в) 0,5 г) 0,1

2. Бросили игральную кость. Какова вероятность, что выпадет меньше шести очков

Ответ:

4. Пусть А – работает машина, В – работает –ый котел (=1,2,3). Записать событие: установка работает машинно-котельная установка работает, если работает машина; 1-ый котел и хотя бы один из двух других котлов.

Ответ:

5.На полке расставили n-томное собрание сочинений в произвольном порядке. Какова вероятность того, что книги стоят в порядке возрастания номеров томов, если n = 7.

Ответ:

6. В группе 8 девушек и 6 юношей. Их разделили на две равные подгруппы. Сколько исходов благоприятствуют событию: 5 юношей окажутся в одной подгруппе, а 1 в другой?

Ответы а) 8 б) 168 в) 840 г) 56

7. Монету подбросили 3 раза. Какова вероятность того, что “орел” выпадет больше 1 раза.

Ответы:

8. В ящике 25 шаров, из них 10 белых, 7 голубых, 3 желтых, 5 синих. Найти вероятность того, что наудачу вынутый шар синий.

Ответы:

9. Выбрать правильный ответ:

Ответы:

10. Выбрать правильный ответ: Формула произведения вероятностей зависимых событий

11. Найти Р (АВ), если

Ответы:

12. Найти , если Р(А) = 0,4

Ответы: а) 0,5 б) 0,8 в) 0,2 г) 0,6

13. События А и В несовместимы. Найти Р(А + В), если Р(А) =0,6 Р(В)= 0,3

Ответы: а) 0,9 б) 0,8 в) 0,7 г) 0,6

14. Найти Р (А+В), если Р(А)=0,6 Р(В)=0,4 Р(АВ)=0,4

Ответы: а) 0,5 б) 0,6 в) 0,9 г) 0,7

15. Опыт произвели n раз. Событие А произошло при этом m раз. Найти частоту появления события А: n = 60, m = 10

Ответы: а) б) 0,2 в)0,25 г) 0,15

16. Теорема Бернулли

17. Соответствие, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется:

Ответы: а) дисперсией случайной величины б) математическим ожиданием ДСВ

В) средним квадратическим отклонением г) законом распределения ДСВ

р = 0,6; n = 10

Ответы: а) 8,4 б) 6 в) 7,2 г) 9

р = 0,6; n = 10

Ответы: а) 2,52 б)3, 6 в) 1,44 г) 0, 9

20. Задан биномиальный закон распределения ДСВ. Найти М(х).

Ответы: а) 2,8 б) 1,2 в) 2,4 г) 0,8

21. Задан биномиальный закон распределения ДСВ. Найти Д(х).

Ответы: а) 0,96 б) 0,64 в) 0,36 г) 0,84

22. . Задан биномиальный закон распределения ДСВ. Найти Р(1

Ответы: а) 0,0272 б) 0,0272 в)0,3398 г) 0,1792

23. Найти соответствующую формулу:

Ответы:

24. Задан закон распределения ДСВ. Найти М(х).

Ответ: а) 3,8 б) 4,2 в) 0,7 г) 1,9

25.Задан закон распределения ДСВ . Найти

Ответы:

27. Случайная величина имеет биномиальное распределение, если

Ответы:

28. Найти дифференциальную функцию распределения f(x),если

Ответы:

29. Найти интегральную функцию распределения F(x), если

Ответ: а) б)

в) г)

30. В формуле

Ответы:

1.Указать верное определение.Суммой двух событий называется:

а) Новое событие, состоящее в том, что происходят оба события одновменно;

б) Новое событие, состоящее в том, что происходит или первое, или второе, или оба вместе;+

Указать верное определение.Произведением двух событий называется:

а) Новое событие, состоящее в том, что происходят оба события одновременно;+

б) Новое событие, состоящее в том, что происходит или первое, или второе, или оба вместе;

в) Новое событие, состоящее в том, что происходит одно но не происходит другое.

Указать верное определение.Вероятностью события называется:

а) Произведение числа исходов, благоприятствующих появлению события на общее число исходов;

б) Сумма числа исходов, благоприятствующих появлению события и общего числа исходов;

в) Отношение числа исходов, благоприятствующих появлению события к общему числу исходов;+

Указать верное утверждение. Вероятность невозможного события:

б) равна нулю;+

в) равна единице;

Указать верное утверждение. Вероятность достоверного события:

а) больше нуля и меньше единицы;

б) равна нулю;

в) равна единице;+

Указать верное свойство. Вероятность случайного события:

а) больше нуля и меньше единицы;+

б) равна нулю;

в) равна единице;

Указать правильное утверждение:

а) Вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий;

б) Вероятность суммы независимых событий равна сумме вероятностей этих событий;

в) Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий;+

Указать правильное утверждение:

а) Вероятность произведения событий равна произведению вероятностей этих событий;

б) Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий;+

в) Вероятность произведения несовместных событий равна произведению вероятностей этих событий;

Указать верное определение.Событие это:

а) Элементарный исход;

б) Пространство элементарных исходов;

в) Подмножество множества элементарных исходов.+

Указать правильный ответ. Какие события называются гипотезами?.

а) любые попарно несовместные события;

б) попарно несовместные события, объединение которых образует достоверное событие;+

в) пространство элементарных событий.

Указать правильный ответ Формулы Байеса определяют:

а) априорную вероятность гипотезы,

б) апостериорную вероятность гипотезы,

в) вероятность гипотезы.+

Указать верное свойство. Функция распределения случайной величины Х является:

а) невозрастающей; б) неубывающей; +в) произвольного вида.

Указать верное

а) независимых+; б) зависимых; в) всех.

Указать верное свойство. Равенство справедливо для случайных величин:

а) независимых;+ б) зависимых; в) всех.

Указать правильное заключение.Из того, что корреляционный момент для двух случайных величин Х и Y равен нулю следует:

а) отсутствует функциональная зависимость между Х и Y;

б) величины Х и Y независимы;+

в) отсутствует линейная корреляция между Х и Y;

Указать правильный ответ. Дискретную случайную величину задают:

а) указывая её вероятности;

б) указывая её закон распределения;+

в) поставив каждому элементарному исходу в соответствие

действительное число.

Указать верное определение. Математическое ожидание случайной величины — это:

а) начальный момент первого порядка;+

б) центральный момент первого порядка;

в) произвольный момент первого порядка.

Указать верное определение. Дисперсия случайной величины- это:

а) начальный момент второго порядка;

б) центральный момент второго порядка;+

в) произвольный момент второго порядка.

Указать верную формулу. Формула для вычисления среднего квадратического отклонения случайной величины:

а) +; б) ; в) .

Указать верное определение. Мода распределения –это:

а) значение случайной величины при котором вероятность равняется 0,5;

б) значение случайной величины при котором либо вероятность, либо функция плотности достигают максимального значения;+

в) значение случайной величины при котором вероятность равняется 0.

Указать верную формулу. Дисперсия случайной величины вычисляется по формуле:

Указатьверную формулу. Плотность нормального распределения случайной величины определяется по формуле:

Указать правильный ответ Математическое ожидание случайной величины распределенной по нормальному закону распределения, равно:

Указать правильный ответ. Математическое ожидание случайной величины распределенной по показательному закону распределения, равно:

Указать правильный ответ.Дисперсия случайной величины распределенной по показательному закону распределения, равна:

Указатьверную формулу. Для равномерного распределения математическое ожидание определяется по формуле:

Указать верную формулу. Для равномерного распределения дисперсия определяется по формуле:

Указать неверное утверждение. Свойства выборочной дисперсии:

а) если все варианты увеличить в одно и тоже число раз, то и дисперсия увеличится в такое же число раз.

б) дисперсия постоянной равняется нулю.

в) если все варианты увеличить на одно и тоже число, то выборочная дисперсия не изменится.+

Указать верное утверждение. Оценкой параметров называют:

а) Представление наблюдений в качестве независимых случайных величин имеющих один и тот же закон распределения.

б) совокупность результатов наблюдений;

в) всякую функцию результатов наблюдения.+

Указать верное утверждение. Оценки параметров распределений обладают свойством:

а) несмещенности;+

б) значимости;

в) важности.

Указать неверное утверждение.

а) Метод максимального правдоподобия используется для получения оценок;

б) Выборочная дисперсия является смещенной оценкой для дисперсии;

в) В качестве статистических оценок параметров используются несмещённые, несостоятельные, эффективные оценки.+

Указать неверное утверждение. Для функции распределения двумерной случайной величины справедливы свойства:

а) ; б) ; в) +.

Указатьневерное утверждение:

а) По многомерной функции распределения всегда можно найти одномерные (маргинальные) распределения отдельных компонент.

б) По одномерным (маргинальным) распределениям отдельных компонент всегда можно найти многомерную функцию распределения.

в) По многомерной функции плотности всегда можно найти одномерные (маргинальные) плотности распределения отдельных компонент.

Указать правильное утверждение. Дисперсия разности двух случайных величин определяется по формуле:

а); б)+; в) .

Указать неверное утверждение. Формула вычисления совместной плотности:

Указать неверное утверждение. Случайные величины X и Y называются независимыми, если:

а) Закон распределения случайной величины X не зависит от того, какое значение приняла случайная величина Y.

в) коэффициент корреляции между случайными величинами X и Y равен нулю.

Указать правильный ответ. Формула является:

а) аналогом формулы Байеса для непрерывных случайных величин;

б) аналогом формулы полной вероятности для непрерывных случайных величин;+

в) аналогом формулы произведения вероятностей независимых событий для непрерывных случайных величин.

Указать неверное определение:

а) Начальным моментом порядка двумерной случайной величины (X,Y) называется математическое ожидание произведения на, т.е.

б) Центральным моментом порядка двумерной случайной величины (X,Y) называется математическое ожидание произведения центрированных на, т.е.)

в) Корреляционным моментом двумерной случайной величины (X,Y) называется математическое ожидание произведения на, т.е. +

Указать правильный ответ. Дисперсия случайной величины распределенной по нормальному закону распределения, равна:

Указатьневерное утверждение. Простейшими задачами математической статистики являются:

а) выборка и группировка статистических данных, полученных в результате эксперимента;

б) определение параметров распределения, вид которого заранее известен;+

в) получение оценки вероятности изучаемого события.

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ НАУКА, УСТАНАВЛИВАЮЩАЯ ЗАКОНОМЕРНОСТИ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ ЭТО:

а) медицинская статистика

б) теория вероятностей

в) медицинская демография

г) высшая математика

Правильный ответ: б

2. ВОЗМОЖНОСТЬ РЕАЛИЗАЦИИ КАКОГО-ЛИБО СОБЫТИЯ ЭТО:

а) эксперимент

б) схема случаев

в) закономерность

г) вероятность

Правильный ответ г

3. ЭКСПЕРИМЕНТ ЭТО:

а) процесс накопления эмпирических знаний

б) процесс измерения или наблюдения за действием с целью сбора данных

в) изучение с охватом всей генеральной совокупности единиц наблюдения

г) математическое моделирование процессов реальности

Правильный ответ б

4. ПОД ИСХОДОМ В ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ ПОНИМАЮТ:

а) неопределенный результат эксперимента

б) определенный результат эксперимента

в) динамику вероятностного процесса

г) отношение числа единиц наблюдения к генеральной совокупности

Правильный ответ б

5. ВЫБОРОЧНОЕ ПРОСТРАНСТВО В ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ ЭТО:

а) структура явления

б) все возможные исходы.эксперимента

в) соотношение между двумя самостоятельными совокупностями

г) соотношение между двумя зависимыми совокупностями

Правильный ответ б

6. ФАКТ, КОТОРЫЙ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ ОПРЕДЕЛЕННОГО КОМПЛЕКСА УСЛОВИЙ МОЖЕТ ПРОИЗОЙТИ ИЛИ НЕ ПРОИЗОЙТИ:

а) частота встречаемости

б) вероятность

в) явление

г) событие

Правильный ответ г

7. СОБЫТИЯ, КОТОРЫЕ ПРОИСХОДЯТ С ОДИНАКОВОЙ ЧАСТОТОЙ,И НИ ОДНО ИЗ НИХ НЕ ЯВЛЯЕТСЯ ОБЪЕКТИВНО БОЛЕЕ ВОЗМОЖНЫМ, ЧЕМ ДРУГИЕ:

а) случайные

б) равновероятные

в) равнозначные

г) выборочные

Правильный ответ б

8. СОБЫТИЕ, КОТОРОЕ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ ОПРЕДЕЛЕННЫХ УСЛОВИЙ ПРОИЗОЙДЕТ НЕПРЕМЕННО, СЧИТАЕТСЯ:

а) нужным

б) ожидаемым

в) достоверным

г) приоритетным

Правильный ответ в

8. ПРОТИВОПОЛОЖНОСТЬЮ ПО ОТНОШЕНИЮ К ДОСТОВЕРНОМУ СОБЫТИЮ ЯВЛЯЕТСЯ СОБЫТИЕ:

а) ненужное

б) неожиданное

в) невозможное

г) неприоритетное

Правильный ответ в

10. ВЕРОЯТНОСТЬ ПОЯВЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ:

а) больше нуля и меньше единицы

б) больше единицы

в) меньше нуля

г) представлена целыми числами

Правильный ответ а

11. СОБЫТИЯ ОБРАЗУЮТ ПОЛНУЮ ГРУППУ СОБЫТИЙ, ЕСЛИПРИ РЕАЛИЗАЦИИ ОПРЕДЕЛЕННЫХ УСЛОВИЙ, ХОТЯ БЫ ОДНО ИЗ НИХ:

а) появится непременно

б) появится в 90% экспериментов

в) появится в 95% экспериментов

г) появится в 99% экспериментов

Правильный ответ а

12. ВЕРОЯТНОСТЬ ПОЯВЛЕНИЯ КАКОГО-ЛИБО СОБЫТИЯ ИЗ ПОЛНОЙ ГРУППЫ СОБЫТИЙ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ ОПРЕДЕЛЕННЫХ УСЛОВИЙ РАВНА:

Правильный ответ г

13. ЕСЛИ НИКАКИЕ ДВА СОБЫТИЯ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ ОПРЕДЕЛЕННЫХ УСЛОВИЙ НЕ МОГУТ ПОЯВИТЬСЯ ОДНОВРЕМЕННО, ТО ОНИ НАЗЫВАЮТСЯ:

а) достоверными

б) несовместными

в) случайные

г) вероятные

Правильный ответ б

14. ЕСЛИ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ ОПРЕДЕЛЕННЫХ УСЛОВИЙ НИ ОДНО ИЗ ОЦЕНИВАЕМЫХ СОБЫТИЙ НЕ ЯВЛЯЕТСЯ ОБЪЕКТИВНО БОЛЕЕ ВОЗМОЖНЫМ, ЧЕМ ДРУГИЕ, ТО ОНИ:

а) равноправные

б) совместные

в) равновозможные

г) несовместимые

Правильный ответ в

15. ВЕЛИЧИНА, КОТОРАЯ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ ОПРЕДЕЛЕННЫХ УСЛОВИЙ МОЖЕТ ПРИНИМАТЬ РАЗЛИЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ, НАЗЫВАЕТСЯ:

а) случайной

б) равновозможной

в) выборочной

г) суммарной

Правильный ответ а

16. ЕСЛИ НАМ ИЗВЕСТНО КОЛИЧЕСТВО ВОЗМОЖНЫХ ИСХОДОВ НЕКОТОРОГО СОБЫТИЯ И ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ИСХОДОВ В ВЫБОРОЧНОМ ПРОСТРАНСТВЕ, ТО МОЖНО РАССЧИТАТЬ:

а) условную вероятность

б) классическую вероятность

в) эмпирическую вероятность

г) субъективную вероятность

Правильный ответ б

17. КОГДА МЫ НЕ ОБЛАДАЕМ ДОСТАТОЧНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ О ПРОИСХОДЯЩЕМ И НЕ МОЖЕМ ОПРЕДЕЛИТЬ ЧИСЛО ВОЗМОЖНЫХ ИСХОДОВ ИНТЕРЕСУЮЩЕГО НАС СОБЫТИЯ,МЫ МОЖЕМ РАССЧИТАТЬ:

а) условную вероятность

б) классическую вероятность

в) эмпирическую вероятность

г) субъективную вероятность

Правильный ответ в

18. ОСНОВЫВАЯСЬ НА ВАШИХ ЛИЧНЫХ НАБЛЮДЕНИЯХ ВЫ ОПЕРИРУЕТЕ:

а) объективной вероятностью

б) классической вероятностью

в) эмпирической вероятностью

г) субъективной вероятностью

Правильный ответ г

19. СУММОЙ ДВУХ СОБЫТИЙ А И В НАЗЫВАЕТСЯ СОБЫТИЕ:

а) состоящее в последовательном появлении или события А, или события В, исключая совместное их появление

б) состоящее в появлении или события А, или события В

в) состоящее в появлении или события А, или события В, или событий А и В вместе

г) состоящее в появлении события А и события В совместно

Правильный ответ в

20. ПРОИЗВЕДЕНИЕМ ДВУХ СОБЫТИЙ А И В ЯВЛЯЕТСЯ СОБЫТИЕ, ЗАКЛЮЧАЮЩЕЕСЯ В:

а) совместном появлении событий А и В

б) последовательном появлении событий А и В

в) появлении или события А, или события В, или событий А и В вместе

г) появлении или события А, или события В

Правильный ответ а

21. ЕСЛИ СОБЫТИЕ А НЕ ВЛИЯЕТ НА ВЕРОЯТНОСТЬ ПОЯВЛЕНИЯ СОБЫТИЯ В , И НАОБОРОТ, ТОИХ МОЖНО СЧИТАТЬ:

а) независимыми

б) разгруппированными

в) дистанционными

г) разнородными

Правильный ответ а

22. ЕСЛИ СОБЫТИЕ А ВЛИЯЕТ НА ВЕРОЯТНОСТЬ ПОЯВЛЕНИЯ СОБЫТИЯ В, И НАОБОРОТ, ТОИХ МОЖНО СЧИТАТЬ:

а) однородными

б) сгруппированными

в) одномоментными

г) зависимыми

Правильный ответ г

23. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ:

а) вероятность суммы двух совместных событий равняется сумме вероятностей этих событий

б) вероятность последовательного появления двух совместных событий равняется сумме вероятностей этих событий

в) вероятность суммы двух несовместных событий равняется сумме вероятностей этих событий

г) вероятность непоявления двух несовместных событий равняется сумме вероятностей этих событий

Правильный ответ в

24.СОГЛАСНО ЗАКОНУ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ, КОГДА ЭКСПЕРИМЕНТ ПРОВОДИТСЯ БОЛЬШОЕ ЧИСЛО РАЗ:

а) эмпирическая вероятность стремится к классической

б) эмпирическая вероятность удаляется от классической

в) субъективная вероятность превышает классическую

г) эмпирическая вероятность не меняется по отношению к классической

Правильный ответ а

25. ВЕРОЯТНОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ СОБЫТИЙ А И В РАВНА ПРОИЗВЕДЕНИЮ ВЕРОЯТНОСТИ ОДНОГО ИЗ НИХ (А) НА УСЛОВНУЮ ВЕРОЯТНОСТЬ ДРУГОГО (В) , ВЫЧИСЛЕННУЮ ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО ПЕРВОЕ ИМЕЛО МЕСТО:

а) теорема умножения вероятностей

б) теорема сложения вероятностей

в) теорема Байеса

г) теорема Бернулли

Правильный ответ а

26. ОДНО ИЗ СЛЕДСТВИЙ ТЕОРЕМЫ УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ:

б) если событие А влияет на событие В, то и событие В влияет на событие А

г) если событие Ане влияет на событие В, то и событие В не влияет на событие А

Правильный ответ в

27. ОДНО ИЗ СЛЕДСТВИЙ ТЕОРЕМЫ УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ:

а) если событие А зависит от события В, то и событие В зависит от события А

б) вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий