Системы счисления

02.12.2011 11974 876

Системы счисления

1.Вы знакомы с римскими цифрами. Первые три из них - I , V , X . Их легко изобразить, используя палочки или спички. Ниже написано несколько неверных ра­венств. Как можно получить из них верные равенства, если разрешается переносить с одного места на другое только одну спичку (палочку)?

а)VII - V = XI ;

б)IX -V = VI ;

в)VI -IX =111;

г)VIII -111 = X .

2. Какие числа записаны римскими цифрами?

а) MCMXCIX ;

б) CMLXXXVIII ;

в) MCXLVII .
Что это за числа?

3. В некоторой непозиционной системе счисления цифры
обозначаются геометрическими фигурами. Ниже пред­ставлены некоторые числа этой системы счисления и
соответствующие им числа десятичной системы счис­ления:

4. Трехзначное десятичное число оканчивается циф­рой 3. Если эту цифру сделать первой слева, то есть с нее будет начинаться запись нового числа, то это новое число будет на единицу больше утроенного исходного числа. Найти исходное число.

5. Шестизначное число оканчивается цифрой 4. Если эту цифру переставить из конца числа в начало, то есть приписать ее перед первой, не изменяя порядка осталь­ных пяти, то получится число, которое в четыре раза больше первоначального. Найти это число.

6. Некогда был пруд, в центре которого рос один лист во­дяной лилии. Каждый день число таких листьев удва­ивалось, и на десятый день вся поверхность пруда уже была заполнена листьями лилий. Сколько дней понадобилось, чтобы заполнить листьями половину пруда? Сосчитать, сколько листьев выросло к десято­му дню.

7. Этот случай вполне мог иметь место во времена «золо­той лихорадки». На одном из приисков старатели были возмущены действиями Джо Макдоналда - хо­зяина салуна, принимавшего от них в уплату золотой песок. Очень уж необычными были гири, с помощью которых тот взвешивал золото: 1, 2, 4, 8, 16, 32 и 64 грамма. Джо утверждал, что с помощью такого на­бора гирь он может взвесить любую порцию золотого песка, не превышающую 100 граммов. Прав ли Джо Макдоналд? Какой наибольший вес можно измерить с помощью таких гирь? Как с помощью названных гирь набрать вес: а) 24 г; б) 49 г; в) 71 г; г) 106 г?

8. Найти такой набор из 5 гирь, чтобы, располагая их на одной чаше весов, молено было бы взвесить любой груз до 31 кг включительно с точностью до 1 кг.

9. Каким наименьшим числом гирь можно взвесить груз от 1 до 63 кг включительно с точностью до 1 кг, поме­щая гири только на одну чашку весов?

10. У одного путешественника не было денег, но была зо­лотая цепочка из семи звеньев. Хозяин гостиницы, к которому обратился путешественник с просьбой о ночлеге, согласился держать постояльца и установил плату: одно звено цепочки за одни сутки проживания. Какое одно звено достаточно распилить, чтобы путешествен­ник мог остановиться в гостинице на любой срок в пре­делах от 1 до 7 суток?

11. Можно ли с помощью трех гирь (1, 3 и 9 кг) взвесить с точностью до 1 кг любой груз до 13 кг включительно, если гири можно располагать на обеих чашах весов, в том числе и на чаше с грузом?

12. Кладовщик одного склада оказался в большом затруд­нении: заказанный комплект гирь для простых ча­шечных весов не прибыл к сроку, а на соседнем складе лишних гирь тоже не было. Тогда он решил подобрать несколько кусков железа разной массы и временно пользоваться ими как гирями. Ему удалось выбрать такие четыре «гири», с помощью которых можно было бы взвешивать с точностью до 100 г товар от 100 г до 4 кг. Какие массы имели эти «гири»?

13. Чудесная таблица. Изобразим все числа от 1 до 15 в двоичной системе. Выпишем эти числа в занумеро­ванные четыре строки, придерживаясь следующего правила: в строку I с точностью до 1 кг записывать все числа, в двоичном изображении которых есть едини­ца первого разряда (сюда попадут все нечетные чис­ла); в строку II - все числа, у которых есть единица второго разряда; в строку III - все числа, имеющие единицу третьего разряда, и в строку IV - все числа, имеющие единицу четвертого разряда. Таблица будет иметь вид:

Теперь можно кому-нибудь предложить задумать лю­бое число от 1 до 15 и назвать все строки таблицы, в которых оно записано. Пусть, к примеру, задуманное

число находится в строках I и III . Значит, задуманное число содержит единицы первого и третьего разрядов, а единиц второго и четвертого разрядов в нем нет. Следовательно, задумано число Ю1 2 = 5 10 . Этот ответ можно дать, не глядя в таблицу.

Изобразить все числа от 1 до 31 в двоичной системе и заполнить соответствующую таблицу из пяти строк. Попробовать провести эту игру со своими друзьями.

14.Используя метод разностей, запишите следующие
числа:

а)в восьмеричной системе счисления: 7, 9, 24, 35, 57, 64;

б) в пятеричной системе счисления: 9,13, 21, 36, 50, 57;

в) в троичной системе счисления: 3, 6, 12, 25, 27, 29;

г)в двоичной системе счисления: 2, 5, 7, 11, 15, 25.

15.Для записи больших десятичных чисел в других системах счисления надо данное число нацело разделить на
основание новой системы, частное опять разделить на
основание новой системы и так до тех пор, пока не по­
лучим частное, меньшее основания новой системы.
Воспользоваться этим правилом для перевода числа
2005 в следующие системы счисления:

а)восьмеричную;

б) пятеричную;

в)двоичную.

16.Задача-игра «Угадывание задуманного числа по от­
резкам». Один из учеников (ведущий) задумывает не­
которое трехзначное число, мысленно делит задуман­ное число пополам, полученную половину опять
пополам и т. д. Если число нечетное, то из него перед
делением вычитается единица. При каждом делении
ведущий чертит на доске отрезок, направленный вер­тикально, если делится нечетное число, и горизон­тально, если делится четное число. Как на основании
полученной фигуры безошибочно определить заду­
манное число?

17. Какое минимальное основание имеет система счисле­ния, если в ней записаны числа 123, 222, 111, 241? Определить десятичный эквивалент данных чисел в найденной системе счисления.

18. Записать наибольшее двузначное число и определить его десятичный эквивалент для следующих систем счисления:

а)восьмеричной;

б) пятеричной;
в)троичной;

г) двоичной.

19.Записать наименьшее трехзначное число и определите
его десятичный эквивалент для следующих систем
счисления:

а)восьмеричной;

б) пятеричной;
в)троичной;

г) двоичной.

20. Упорядочить числа по убыванию. 143 6 ; 50 9 ; 1222 3 ; 1011 4 ; 110011 2 ; 123 8 .

Скачать материал

Полный текст материала смотрите в скачиваемом файле.
На странице приведен только фрагмент материала.

Примеры решения

Задание №1.
Дано А=A716, B=2518. Какое из чисел C, записанных в двоичной системе, отвечает условию A 1) 101011002
2) 101010102
3) 101010112
4) 101010002
Решение:
Переведём числа А=A716 и B=2518 в двоичную систему счисления, заменив каждую цифру первого числа соответствующей тетрадой, а каждую цифру второго числа – соответствующей триадой: A716= 1010 01112; 2518 = 010 101 0012.
Условию A Ответ: 101010002 (вариант 4).

Задание №2.
Сколько значащих цифр в записи десятичного числа 357 в системе счисления с основанием 3?
Решение:
Переведём число 35710 в троичную систему счисления:

Итак, 35710 = 1110203. Число 1110203 содержит 6 значащих цифр.
Ответ: 6.

Задание №3.
На какую цифру оканчивается запись десятичного числа 123 в системе счисления с основанием 6?
Решение:
Переведём число 12310 в систему счисления с основанием 6:

12310 = 3236.
Ответ: Запись числа 12310 в системе счисления с основанием 6 оканчивается на цифру 3.
Задания на выполнение арифметических действий над числами, представленными в разных системах счисления

Задание №4.
Вычислите сумму чисел X и Y, если X=1101112, Y=1358. Результат представьте в двоичном виде.
1) 110101002 2) 101001002 3) 100100112 4) 100101002
Решение:
Переведём число Y=1358 в двоичную систему счисления, заменив каждую его цифру соответствующей триадой: 001 011 1012. Выполним сложение:

Ответ: 100101002 (вариант 4).

Задание №5.
Найдите среднее арифметическое чисел 2368, 6С16 и 1110102. Ответ представьте в десятичной системе счисления.
Решение:
Переведём числа 2368, 6С16 и 1110102 в десятичную систему счисления:


Вычислим среднее арифметическое чисел: (158+108+58)/3 = 10810.
Ответ: среднее арифметическое чисел 2368, 6С16 и 1110102 равно 10810.

Задание №6.
Вычислите значение выражения 2068 + AF16 ? 110010102. Вычисления производите в восьмеричной системе счисления. Переведите ответ в десятичную систему.
Решение:
Переведём все числа в восьмеричную систему счисления:
2068 = 2068; AF16 = 2578; 110010102 = 3128
Сложим числа:

Переведём ответ в десятичную систему:

Ответ:51110.

Задания на нахождение основания системы счисления

Задание №7.
В саду 100q фруктовых деревьев: из них 33q яблони, 22q груши, 16q слив и 17q вишен. Найдите основание системы счисления, в которой посчитаны деревья.
Решение:
Всего в саду 100q деревьев: 100q = 33q+22q+16q+17q.
Пронумеруем разряды и представим данные числа в развёрнутой форме:


Ответ: Деревья посчитаны в системе счисления с основанием 9.

Задание №8.
В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 18 записывается в виде 30. Укажите это основание.
Решение:
Примем за х основание неизвестной системы счисления и составим следующее равенство:
1810 = 30x;


Ответ: десятичное число 18 записывается в виде 30 в системе счисления с основанием 6.

Задание №9.
Найдите основание x системы счисления, если известно, что 2002x = 13010.
Решение:
Пронумеруем разряды и запишем данные числа в развёрнутой форме:

Ответ:4.

Урок № 45. Решение задач по теме «Системы счисления».

Цели урока:

Образовательная – закрепление, обобщение, систематизация знаний учащихся, в том числе с использованием нестандартных заданий. Воспитательная - повышение мотивации учащихся путем использования нестандартных задач. Развивающая – развитие мышления учащихся при помощи логических задач.

Оборудование:

Компьютер, Мультимедийный проектор, Экран, Презентация Раздаточный материал.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Оформление кабинета: на экране, во время проведения урока, демонстрируется презентация

План урока:

Организационный момент. Проверка домашней работы. Работа с классом. Решение задач. Самостоятельная работа. Подведение итогов урока. Домашнее задание.

Ход урока

I. Организационный момент

Учитель: Здравствуйте, ребята! В начале XVIII века по просьбе великого немецкого ученого Готфрида Вильгельма Лейбница, внесшего большой вклад в становление информатики, была выбита медаль, по краю которой шла надпись: “Чтобы вывести из ничтожества всё, достаточно единицы”. Как вы считаете, чему была посвящена эта медаль? (двоичная система счисления).

Сегодня у нас заключительный урок по теме “Системы счисления”. Мы повторим, обобщим и приведем в систему изученный материал.

Ваша задача – показать свои знания и умения в процессе выполнения различных заданий.

II. Проверка домашней работы

№1. В классе 1111002% девочек и 11002% мальчиков. Сколько учеников в классе?

Решение .

Демонстрируется слайд 2.

Переведем числа, записанные в двоичной системе счисления, в десятичную систему счисления.

1111002=1Y? 25+1Y 24+1Y 23+1Y 22+0Y 21+0Y 20=32+16+8+4=60

11002=1Y 23+1Y 22+0Y 21+0Y 20=8+4=12

Таким образом, в классе 60% девочек и 12% мальчиков.

Пусть всего в классе х учеников, тогда девочек – 0,6х.

Отсюда

х=12+0,6х

0,4х=12

х=12:0,4=30

Ответ : 30 учеников в классе

№2. Найти суммы чисел 442 и 115 в пятеричной системе счисления.

Решение.

Демонстрируется слайд 3.

№3*. Восстановить неизвестные цифры, обозначенные *, определив вначале в какой системе счисления изображены числа.

Ответ:

Демонстрируются слайды 4 и 5.

III. Работа с классом

1. Два человека работают на месте по карточкам (обязательный уровень)

Ответ:

1 карточка 1. 127=10025 2. 2А711=359

2 карточка 1. 569=23916 2. 1АВ16=427

2. Два человека работают на месте по карточкам (продвинутый уровень)

1 карточка 1 (1,11) 2 (101,11) 3 (101,1001) 4 (1000, 110) 5 (101,11) 6 (1010,110) 7 (1001,1) 8 (11,1) 9 (1,11) 10 (101, 1001) 11 (101,1010) 12 (1000,1010) 13 (1000,1001) 14 (101,1001)

2 карточка Отметить и последовательно соединить на координатной плоскости точки, координаты которых записаны в двоичной системе счисления. 1 (1,101) 2 (10,110) 3 (101,110) 4 (111,1001) 5 (1001,1001) 6 (111,110) 7 (1010,110) 8 (1011,1000) 9 (1100,1000) 10 (1010,100) 11 (111,100) 12 (1001,1) 13 (111,1) 14 (101,100) 15 (10,100) 16 (1,101)

3. Два человека работают по карточкам у доски

1 карточка А) VII-V=XI Б) IX-V=VI 2. Перевести число 125,25 в восьмеричную систему счисления

2 карточка 1. Представьте, что с помощью спичек выложены следующие примеры с римскими цифрами. Эти примеры решены неверно. Перенесите только по одной спичке, чтобы решение стало правильным. А) VI-IX=III Б) VII-III=IX 2. Перевести число 27,125 в двоичную систему счисления

Ответ:

1 карточка А) VI+V=XI Б) XI-V=VI 2. 125,25=175,28

2 карточка А) VI=IX-III Б) VII+II=IX 2. 27,125=11011,0012

4. Устная работа с классом

Демонстрируются слайды 6 и 7.

1. Информация в ЭВМ кодируется … (в двоичной системе счисления)

2. Система счисления – это… (совокупность приемов и правил записи чисел с помощью определенного набора символов)

3. Системы счисления делятся на … (позиционные и непозиционные)

4. Двоичная система счисления имеет основание (2)

5. Для записи чисел в системе счисления с основанием 8 используют цифры … (от 0 до 7).

6. Для записи чисел в системе счисления с основанием 16 используют цифры … (от 0 до 9 и буквы А, В, С, D, E, F)

7. Один бит содержит (0 или 1)

8. Один байт содержит (8 бит)

9. Какое минимальное основание имеет система счисления, если в ней записаны числа:

А) 125 (р=6)
Б) 228 (р=9)
В) 11F (р=16)

10. Назовите наибольшее двузначное число для следующих систем счисления

А) двоичной (11)
Б) троичной (22)
В) восьмеричной (77)
Г) двенадцатеричной (ВВ)

11. Какие числа не существуют в данных системах счисления?

А) 1105, 2015, 1155, 615)
Б) 15912, 7АС12, АВ12, 90812 (7АС12)
В) 888, 20118, 56708, А18 (888, А18)

Проверяются работы учащихся, выполняющих индивидуальные задания на месте и у доски.

Работы учащихся, выполняющих задания продвинутого уровня, сравниваются с ответами на слайдах 8 и 9.

Демонстрируются слайды 8 и 9.

IV. Решение задач

У каждого учащегося на столе листы с заданиями для возможности индивидуального выполнения.

№1. Чему равно х в десятичной системе счисления, если х=107+102Y 105?

Решение.

х=1Y 71+0Y 70+(1Y 21+0Y 20) Y (1Y 51+0Y 50)=7+2Y 5=17

Ответ : х=17

№2. Упорядочить числа по убыванию 509, 12225, 10114, 1 1258.

Решение.

Переведем все числа в десятичную систему счисления.

509=5Y 91+0Y 90=45

12225=1Y 53+2Y 52+2Y 51+2Y 50=125+50+10+2=187

10114=1Y 43+1Y 41+1Y 40=64+4+1=69

1100112=1Y 25+1Y 24+1Y 21+1Y 20=32+16+2+1=51

1258=1Y 82+2Y 81+5Y 80=64+16+5=85

Упорядочим числа, записанные в десятичной системе счисления, по убыванию: 187,85,69,51,45

Ответ: 12225, 1258, 10114, 1 509

№3. У меня 100 братьев. Младшему 1000 лет, а старшему 1111 лет. Старший брат учится в 1001 классе. Может ли такое быть?

Решение.

Двоичная система счисления.

1002=1Y 22+0Y 21+0Y 20=4

10002=1Y 23+0Y 22+0Y 21+0Y 20=8

11112=1Y 23+1Y 22+1Y 21+1Y 20=15

10012=1Y 23+0Y 22+0Y 21+1Y 20=9

Ответ: 4 брата, младшему 8 лет, старшему 15. Старший брат учится в 9 классе

№4. В классе 1000х учеников, из них 120х девочек и 110х мальчиков. В какой системе счисления велся счет учеников?

Решение.

120х+110х=1000х

1Y х2+2Y х+1Y х2+1Y х=х3

х3-2х2-3х=0

х(х2-2х-3)=0

х=0 или

х2-2х-3=0

d/4=1+3=4

х1=1+2=3

х2=1-2=-1 <0 не удовлетворяет условию задачи

х=0 не удовлетворяет условию задачи Ответ: троичная система счисления

№5. В комнате веселились 1425 мух. Иван Иванович открыл форточку и размахивая полотенцем, выгнал из комнаты 225 мух. Но прежде, чем он успел закрыть форточку, 213 мух вернулись обратно. Сколько мух теперь веселится в комнате?

Решение.

213=1Y 52+4Y 51+2Y 50-2Y 51-2Y 50+2Y 31+1Y 30=25+20+2-10-2+6+1=42

Ответ: 42 мухи

№6. Для 5 букв латинского алфавита заданы их двоичные коды (для некоторых букв – из 2 бит, для некоторых из 3). Эти коды представлены в таблице.

Определите, какой набор букв закодирован двоичной строкой.

А) baаde

Б) bade

В) bacde

Г) bacdb

Решение.

– 13 символов

А) baаde - 14 символов

Б) bade - 11 символов

В) bacde – 13 символов -

А) код ACCESS
Б) код КОИ-21
В) код ASCII

2. Целому десятичному числу 11 будет соответствовать двоичное число:

А) 1001
Б) 1011
В) 1101

3. Восьмеричному числу 17,48 будет соответствовать десятичное число

А) 9,4
Б) 8,4
В) 15,5

4. Сложение двоичных чисел производят по правилам

А) 0+0=0, 1+0=1, 0+1=1, 1+1=10
Б) 0+0=0, 1+0=1, 0+1=1, 1+1=2
В) 0+0=0, 1+0=1, 0+1=1, 1+1=0

5. При каком значении х верно: 431х-144х=232х

А)х=4
Б) х=5
В) х= 6
Г) х=7
Д) х=8

6*. Результат сложения двух чисел 10112+112 будет равен:

А) 10222
Б) 11012
В) 11102

2 вариант

1. Для перевода чисел из одной системы счисления в другую существуют:

А) таблица перевода
Б) правила перевода
В) соответствующие стандарты

2. Целому десятичному числу 15 будет соответствовать двоичное число:

А) 1001
Б) 1110
В) 1111

3. Двоичному числу 1101,112 будет соответствовать десятичное число

А) 3,2
Б) 13,75
В) 15,5

4. Умножение двоичных чисел производят по правилам

А) 0Y 0=0, 0Y 1=0, 1Y 0=0, 1Y 1=1
Б) 0Y 0=0, 1Y 0=1, 0Y 1=0, 1Y 1=1
В) 0Y 0=0, 1Y 0=1, 0+1=1, 1+1=1

5. При каком значении х верно: 45хY 4х=246х

А)х=5
Б) х=6
В) х= 7
Г) х=8
Д) х=9

6*. Результат сложения двух чисел 11102+1112 будет равен:

А) 100112
Б) 101012
В) 111112

Ответы на задания учащиеся записывают на листики, которые сдают учителю.

Затем ответы демонстрируются на слайде 10.

Демонстрируется слайд 10.

VI. Подведение итогов урока

Выставление оценок

VII. Домашнее задание

(до урока учащиеся получили карточки с домашним заданием)

№1. Вспомнить основные правила перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую.

№2. Перевести число 1012 в десятичную систему счисления.

№3. Перевести число 19816 в систему счисления с основанием 8.

№4. При каком значении х верно 236х=12405

Тема: «Системы счисления»

СКОЛЬКО ЛЕТ ДЕВОЧКЕ

Ей было тысяча сто лет, Она в сто первый класс ходила, В портфеле по сто книг носила - Все это правда, а не бред. Когда, пыля десятком ног, Она шагала по дороге, За ней всегда бежал щенок С одним хвостом, зато стоногий. Она ловила каждый звук Своими десятью ушами, И десять загорелых рук Портфель и поводок держали. И десять темно-синих глаз Рассматривали мир привычно, Но станет все совсем обычным, Когда поймете наш рассказ

(А. Стариков)

• (А. Стариков)
• (А. Стариков)
• (А. Стариков)
• (А. Стариков)

ОТВЕТ: 12 лет, 5 класс, 4 книги.

Один мальчик так написал о себе: «У меня 24 пальца, на каждой руке по 5, а на ногах 12». Как это могло быть?

Ответ: Так как 5+5=12, то речь идет о восьмеричной системе счисления. Так что мальчик наш абсолютно нормальный ребенок, изучивший восьмеричную систему счисления.

ОТВЕТ. «Переведем» условие задачи в двоичную систему счисления. В классе 60% девочек и 12 мальчиков. Следовательно, в классе 30 учеников.

• В математической олимпиаде участвовало 13 девочек и 54 мальчика, а всего 100 человек. В какой системе счисления записаны эти сведения?

ОТВЕТ 13 +54 100 3+4=10 в семеричной системе счисления.

• Пифагорийцы говорили: “Всё есть число”, почему? А вы согласны с этим лозунгом?

• Современного человека повсюду окружают числа: номера телефонов, машин, паспорта, стоимость товаров, покупки. Числа были всегда и 4 и 5 тыс. лет назад, только правила изображения их были другими. Но смысл был один: числа изображались с помощью определенных знаков – цифр. Так что же такое цифра?

• Цифра-символ, участвующий в записи числа и составляющий некоторый алфавит.

• чем отличается цифра от числа? И что же такое число?

• Числа состоят из цифр.

• Итак, число-величина, которая складывается из цифр по определенным правилам. Эти правила получили название Система счисления.

В комнате веселилось 1425 мух. Петр Петрович открыл форточку и, размахивая полотенцем, выгнал из комнаты 225 мух. Но прежде чем он успел закрыть форточку, 213 мух вернулись обратно. Сколько мух теперь веселится в комнате?

ОТВЕТ. Переведем все в десятичную систему счисления и выполним вычисления в соответствии с условием задачи 47 – 12 + 7 = 42.