چگالی توزیع مجموع متغیرهای تصادفی یکنواخت. قانون توزیع مجموع دو متغیر تصادفی. ترکیب دو قانون توزیع دو متغیر تصادفی

موضوع 3
	مفهوم تابع توزیع
	انتظارات و واریانس ریاضی
	توزیع یکنواخت (مستطیل شکل).
	توزیع نرمال (گاوسی).
	توزیع
	تی- توزیع دانش آموزی
	اف- توزیع
	توزیع مجموع دو متغیر مستقل تصادفی
	مثال: توزیع مجموع دو مستقل مقادیر یکنواخت توزیع شده
	تبدیل متغیر تصادفی
	مثال: توزیع هارمونیک با یک فاز تصادفی
	تئوری حد مرکزی
	لحظه های یک متغیر تصادفی و ویژگی های آنها
هدف از چرخه سخنرانی ها:		گزارش اطلاعات اولیه در مورد مهم ترین توابع توزیع و خواص آنها

توابع توزیع

اجازه دهید x (k)- برخی از متغیرهای تصادفی سپس، برای هر مقدار ثابت x، رویداد تصادفی x (k) ایکسبه عنوان مجموعه ای از تمام نتایج ممکن تعریف می شود کبه طوری که x (k) x... بر حسب معیار احتمال اولیه تعریف شده در فضای نمونه، تابع توزیعP (x)به عنوان احتمال نسبت داده شده به مجموعه نقاط تعریف می شود ک x (k) x... توجه داشته باشید که مجموعه ای از نقاط کارضای نابرابری x (k) x، زیر مجموعه ای از مجموعه نقاطی است که نابرابری را برآورده می کند x (k) . به صورت رسمی

بدیهی است که

اگر دامنه مقادیر متغیر تصادفی پیوسته باشد، که در موارد زیر فرض می شود، سپس چگالی احتمالی(یک بعدی) p (x)توسط رابطه دیفرانسیل تعیین می شود

(4)

از این رو،

(6)

برای اینکه بتوان موارد گسسته را در نظر گرفت، وجود توابع دلتا در چگالی احتمال باید در نظر گرفته شود.

ارزش مورد انتظار

اجازه دهید متغیر تصادفی x (k)مقادیر را از محدوده -  تا +  می گیرد. منظور داشتن(در غیر این صورت، ارزش مورد انتظاریا ارزش مورد انتظار) x (k)با استفاده از عبور مربوطه به حد در مجموع حاصل از مقادیر محاسبه می شود x (k)در مورد احتمال وقوع این حوادث:

(8)

جایی که E- انتظارات ریاضی از یک عبارت در کروشه مربع بر اساس شاخص ک... انتظارات ریاضی یک تابع پیوسته تک مقدار واقعی به طور مشابه تعریف می شود g(ایکس)از یک متغیر تصادفی x (k)

(9)

جایی که p (x)- چگالی احتمال یک متغیر تصادفی x (k).به ویژه، گرفتن g (x) = x،گرفتن میانگین مربع x (k) :

(10)

پراکندگیx (k)به عنوان مجذور میانگین اختلاف تعریف می شود x (k)و مقدار میانگین آن،

یعنی در این مورد g (x) = و

طبق تعریف، انحراف معیارمتغیر تصادفی x (k)تعیین شده است ، مقدار مثبت جذر واریانس است. انحراف معیار با همان واحدهای میانگین اندازه گیری می شود.

توابع توزیع مهم

توزیع یکنواخت (مستطیل شکل).

فرض کنیم که آزمایش شامل انتخاب تصادفی یک نقطه از بازه [ الف، ب]، از جمله نقاط پایانی آن. در این مثال، به عنوان مقدار متغیر تصادفی x (k)تو میتونی برداری مقدار عددینقطه انتخاب شده تابع توزیع مربوطه دارای فرم است

بنابراین، چگالی احتمال با فرمول داده می شود

در این مثال، محاسبه میانگین و واریانس با استفاده از فرمول های (9) و (11) به دست می آید

توزیع عادی (گاوسی).

، - میانگین حسابی، - انحراف معیار.

مقدار z مربوط به احتمال P (z) = 1-، یعنی.

CHI - توزیع مربع

اجازه دهید - n مستقل متغیرهای تصادفیکه هر کدام دارای توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس واحد هستند.

مجذور کای یک متغیر تصادفی با n درجه آزادی است.

چگالی احتمالی.

DF: 100 - امتیاز درصد - توزیع ها نشان داده شده است، یعنی.

میانگین و واریانس برابر هستند

t - توزیع های دانشجویی

y، z - متغیرهای تصادفی مستقل؛ y - دارای - توزیع، z - معمولاً با میانگین صفر و واریانس واحد توزیع می شود.

مقدار - دارد تی- توزیع دانش آموز با n درجه آزادی

DF: 100 - نقطه درصد t - توزیع با نشان داده شده است

میانگین و واریانس برابر هستند

و - توزیع

متغیرهای تصادفی مستقل؛ دارای - توزیع با درجات آزادی؛ توزیع با درجات آزادی مقدار تصادفی:

,

F یک متغیر تصادفی توزیع شده با و درجه آزادی است.

,

DF: 100 - نقطه درصد:

میانگین و واریانس برابر هستند:

توزیع مقدار

دو مقدار تصادفی

اجازه دهید x (k)و y (k)- متغیرهای تصادفی با چگالی احتمال مشترک p (x, y).چگالی احتمال مجموع متغیرهای تصادفی را بیابید

با ثابت ایکسما داریم y = z– x.بنابراین

با ثابت zمعنی ایکسبازه از – تا + را اجرا کنید. بنابراین

(37)

از آنجا مشاهده می شود که برای محاسبه چگالی مجموع مورد نظر، باید چگالی احتمال مشترک اولیه را دانست. اگر x (k)و y (k)آیا متغیرهای تصادفی مستقل دارای چگالی و به ترتیب پس از و

(38)

مثال:مجموع دو مقدار تصادفی مستقل و توزیع شده یکسان.

بگذارید دو متغیر تصادفی مستقل دارای چگالی شکل باشند

در موارد دیگر اجازه دهید چگالی احتمال p (z) مجموع آنها z = x + y را پیدا کنیم.

چگالی احتمالی برای یعنی برای از این رو، ایکستجاوز نمی کند z... بعلاوه برابر با صفر برای نیست با فرمول (38) درمی یابیم که

تصویر:

چگالی احتمال مجموع دو متغیر تصادفی مستقل با توزیع یکنواخت.

تبدیل تصادفی

ارزش های

اجازه دهید x (t)- یک متغیر تصادفی با چگالی احتمال p (x)رهایش کن g (x)تابع پیوسته واقعی تک مقداری است ایکس... اجازه دهید ابتدا موردی را در نظر بگیریم که تابع معکوس باشد x (g)همچنین یک تابع پیوسته تک مقداری از gچگالی احتمالی p (g)،مربوط به یک متغیر تصادفی g (x (k)) = g (k)،را می توان با چگالی احتمال تعیین کرد p (x)متغیر تصادفی x (k)و مشتق dg / dxبا این فرض که مشتق وجود دارد و غیر صفر است، یعنی:

(12)

بنابراین، در حد در dg / dx # 0

(13)

با استفاده از این فرمول، به جای متغیر در سمت راست آن قرار می گیرد ایکسمقدار مربوطه را جایگزین کنید g.

اجازه دهید اکنون موردی را در نظر بگیریم که تابع معکوس باشد x (g)معتبر است nتابع ارزشی از g، جایی که n- یک عدد صحیح و همه n مقدار به یک اندازه محتمل هستند. سپس

(14)

مثال:

توزیع تابع هارمونیک.

تابع هارمونیک دامنه ثابت ایکسو فرکانس fاگر زاویه فاز اولیه آن متغیر تصادفی باشد  =  (ک)- مقدار تصادفی به طور خاص، اجازه دهید تیثابت و مساوی تی o، و اجازه دهید متغیر تصادفی هارمونیک شکل داشته باشد

بیایید وانمود کنیم که  (ک)چگالی احتمال یکنواخت دارد پ ( ) از نوع

چگالی احتمال را پیدا کنید p (x)متغیر تصادفی x (k).

در این مثال، تابع مستقیم ایکس ( ) بدون ابهام، و تابع معکوس  (ایکس)دو رقمی.

یک تصمیم گیرنده می تواند از بیمه برای کاهش اثرات نامطلوب مالی انواع خاصی از حوادث تصادفی استفاده کند.

اما این ملاحظات بسیار کلی است، زیرا یک تصمیم گیرنده می تواند هم به معنای فردی باشد که به دنبال محافظت در برابر خسارت وارده به دارایی، پس انداز یا درآمد است و هم سازمانی که به دنبال محافظت در برابر همان نوع آسیب است.

در واقع، چنین سازمانی ممکن است یک شرکت بیمه باشد که به دنبال راه‌هایی برای محافظت از خود در برابر خسارات مالی ناشی از حوادث بیش از حد بیمه شده است که برای یک مشتری یا سبد بیمه‌ای آن رخ داده است. این حفاظت نامیده می شود بیمه اتکایی.

یکی از دو مدل را در نظر بگیرید (یعنی مدل ریسک فردی) به طور گسترده در تعیین نرخ و ذخایر بیمه و همچنین در بیمه اتکایی استفاده می شود.

اجازه دهید با نشان دادن اسمیزان خسارات تصادفی شرکت بیمه برای بخشی از خطرات آن. در این مورد اسیک متغیر تصادفی است که باید توزیع احتمال را برای آن تعیین کنیم. از لحاظ تاریخی، برای توزیع های r.v. اسدو مجموعه از فرض وجود دارد. مدل ریسک فردی تعیین می کند اسبه روش زیر:

جایی که s.v. خسارات ناشی از موضوع بیمه را با شماره نشان می دهد من،آ nنشان دهنده تعداد کل اشیاء بیمه است.

معمولاً فرض می شود که آنها متغیرهای تصادفی مستقل هستند، زیرا در این مورد محاسبات ریاضی ساده تر است و اطلاعاتی در مورد ماهیت رابطه بین آنها مورد نیاز نیست. مدل دوم، مدل ریسک جمعی است.

مدل در نظر گرفته شده از ریسک های فردی منعکس کننده تغییرات در ارزش پول در طول زمان نیست. این کار برای ساده سازی مدل انجام می شود و به همین دلیل عنوان مقاله به فاصله زمانی کوتاهی اشاره دارد.

ما فقط مدل های بسته را در نظر خواهیم گرفت، یعنی. آنهایی که در آنها تعداد اشیاء بیمه nدر فرمول (1.1) در همان ابتدای بازه زمانی در نظر گرفته شده مشخص و ثابت است. اگر مفروضات وجود مهاجرت از یا به سیستم بیمه را وارد کنیم، مدل باز به دست می آید.

متغیرهای تصادفی که پرداخت‌های فردی را توصیف می‌کنند

ابتدا، مقررات اصلی در مورد بیمه عمر را یادآوری می کنیم.

در صورت بیمه فوت به مدت یکسال، بیمه گر متعهد به پرداخت مبلغ می باشد باگر بیمه‌گذار ظرف یک سال از تاریخ انعقاد قرارداد بیمه فوت کند و در صورت زنده بودن بیمه‌گذار در سال جاری چیزی پرداخت نکند.

احتمال وقوع رویداد بیمه شدهدر طول سال مشخص شده با نشان داده شده است.

یک متغیر تصادفی که پرداخت‌های بیمه را توصیف می‌کند، دارای توزیعی است که می‌تواند توسط تابع احتمال مشخص شود.

(2.1)

یا تابع توزیع مربوطه

(2.2)

از فرمول (2.1) و از تعریف لحظه ها به دست می آید

(2.4)

این فرمول ها را می توان با نوشتن نیز به دست آورد ایکسمانند

جایی که یک مقدار ثابت در صورت مرگ پرداخت می شود، و یک متغیر تصادفی است که در هنگام مرگ مقدار 1 و در غیر این صورت 0 است.

بنابراین، و ، و میانگین و واریانس r.v. برابر هستند و به ترتیب و مقدار میانگین و واریانس r.v. برابر هستند و که با فرمول های نوشته شده در بالا مطابقت دارد.

یک متغیر تصادفی با دامنه (0،1) به طور گسترده در مدل های اکچوئری استفاده می شود.

در کتب درسی نظریه احتمال نامیده می شود نشانگر, تصادفی برنولیارزش یا متغیر تصادفی دو جمله ایدر یک مدار آزمایشی واحد

ما با او تماس خواهیم گرفت نشانگربه دلایل اختصار، و همچنین به این دلیل که نشان دهنده توهین آمیز بودن یا نه توهین آمیز بودن رویداد مورد نظر است.

اجازه دهید به جستجوی مدل های کلی تری بپردازیم که در آن ارزش پرداخت بیمه نیز یک متغیر تصادفی است و در بازه زمانی در نظر گرفته شده ممکن است چندین رویداد بیمه رخ دهد.

بیمه سلامت، بیمه خودرو و سایر اموال، و بیمه مسئولیت نمونه‌های بسیاری را به‌طور مستقیم ارائه می‌کنند. تعمیم فرمول (2.5)، قرار داده ایم

جایی که یک متغیر تصادفی است که پرداخت های بیمه را در بازه زمانی در نظر گرفته شده، r.v. نشان دهنده کل مبلغ پرداختی در این بازه و r.v. یک شاخص برای یک رویداد است که حداقل یک رویداد بیمه شده رخ داده است.

به عنوان شاخص چنین رویدادی، s.v. حضور را ثبت می کند () یا کمبود () حوادث بیمه شده در این بازه زمانی، اما نه تعداد رویدادهای بیمه شده در آن.

احتمال همچنان با نشان داده می شود.

ما چندین مثال را مورد بحث قرار خواهیم داد و توزیع متغیرهای تصادفی را در یک مدل مشخص تعیین خواهیم کرد.

بیمه فوت اول را برای مدت یک سال در نظر بگیرید و در صورت فوت ناشی از حادثه، پرداخت اضافی را نیز در نظر بگیرید.

برای قطعیت فرض کنید اگر فوت بر اثر تصادف اتفاق بیفتد مبلغ پرداختی 50000 می شود و در صورت فوت به دلایل دیگر مبلغ پرداختی 25000 خواهد بود.

فرض کنید برای فردی با سن، وضعیت سلامتی و حرفه ای، احتمال مرگ بر اثر تصادف در طول سال 0005/0 و احتمال مرگ به علل دیگر 0020/0 باشد. در قالب یک فرمول به صورت زیر است:

با جمع کردن تمام مقادیر ممکن، به دست می آوریم

,

توزیع مشروط ص. v تحت شرط دارای فرم است

اکنون بیمه برخورد خودرو (غرامت خسارت وارده به خودروی خود به مالک خودرو پرداخت می شود) با فرانشیز بی قید و شرط 250 و حداکثر پرداختی 2000 در نظر بگیرید.

برای وضوح، فرض می کنیم که احتمال یک رویداد بیمه شده در بازه زمانی در نظر گرفته شده برای یک فرد 0.15 و احتمال بیش از یک برخورد صفر است.

, .

این فرض غیر واقعی که بیش از یک رویداد بیمه شده نمی تواند در طول یک دوره رخ دهد، به منظور ساده سازی توزیع r.v ساخته شده است. ...

پس از بررسی توزیع مبلغ چندین رویداد بیمه شده، در بخش بعدی از این فرض صرف نظر خواهیم کرد.

از آنجایی که مبلغ پرداختی بیمه‌گر است و نه خسارت وارده به خودرو، می‌توان دو ویژگی را در نظر گرفت و.

اولاً رویداد شامل آن دسته از برخوردهایی است که خسارت آن کمتر از کسر بی قید و شرط است که 250 است.

دوم، توزیع r.v. در نقطه حداکثر پرداخت های بیمه، که 2000 است، "مجموعه ای" از جرم احتمالی خواهد داشت.

فرض کنید جرم احتمالی متمرکز در این نقطه 0.1 باشد. علاوه بر این، فرض کنید که ارزش پرداخت های بیمه در محدوده 0 تا 2000 را می توان با یک توزیع پیوسته با تابع چگالی متناسب با مدل سازی کرد. (در عمل، منحنی پیوسته ای که برای نشان دادن توزیع مزایای بیمه انتخاب می شود، نتیجه مطالعات مزایا در دوره قبل است.)

خلاصه کردن این مفروضات در مورد توزیع شرطی r.v. به شرطی که به یک توزیع مخلوط با چگالی مثبت در بازه 0 تا 2000 و "دسته" خاصی از جرم احتمالی در نقطه 2000 می رسیم. این در نمودار در شکل نشان داده شده است. 2.2.1.

تابع توزیع این توزیع شرطی به صورت زیر است:

شکل 2.1. تابع توزیع r.v. B موضوع I = 1

اجازه دهید انتظار و واریانس ریاضی را در مثال در نظر گرفته شده با بیمه خودرو به دو صورت محاسبه کنیم.

ابتدا، اجازه دهید توزیع r.v را بنویسیم. و از آن برای محاسبه و استفاده کنید. نشان دادن تابع توزیع r.v. ، ما داریم

برای ایکس<0

این یک توزیع ترکیبی است. همانطور که در شکل نشان داده شده است. 2.2، هم یک گسسته ("دسته" جرم احتمالی در نقطه 2000) و هم یک بخش پیوسته دارد. چنین تابع توزیعی با ترکیبی از تابع احتمال مطابقت دارد

برنج. 2.2. تابع توزیع r.v. X = IB

و توابع چگالی

به طور خاص، و ... بنابراین .

تعدادی فرمول وجود دارد که لحظه های متغیرهای تصادفی را با انتظارات ریاضی شرطی به هم مرتبط می کند. برای انتظارات ریاضی و برای واریانس، این فرمول ها دارای فرم هستند

(2.10)

(2.11)

قابل درک است که عبارات سمت چپ این برابری ها مستقیماً از توزیع r.v محاسبه می شوند. ... هنگام محاسبه عبارات در سمت راست، یعنی و، توزیع شرطی r.v. استفاده می شود. با مقدار ثابت r.v. ...

بنابراین این عبارات توابع r.v هستند. ، و می توانیم ممان آنها را با استفاده از توزیع r.v محاسبه کنیم. ...

تخصیص های احتمالی در بسیاری از مدل های اکچوئری استفاده می شود، و این اجازه می دهد تا فرمول های بالا به طور مستقیم اعمال شوند. در مدل ما با توجه به r.v. as و s.v. همانطور که می گیریم

(2.12)

, (2.14)

, (2.15)

و انتظارات ریاضی مشروط را در نظر بگیرید

(2.16)

(2.17)

فرمول های (2.16) و (2.17) به عنوان تابعی از r.v تعریف می شوند. ، که می توان آن را به صورت فرمول زیر نوشت:

از آن زمان در (2.21)

زیرا داریم و (2.22)

فرمول های (2.21) و (2.22) را می توان ترکیب کرد: (2.23)

بنابراین، (2.24)

با جایگزینی (2.21)، (2.20) و (2.24) به (2.12) و (2.13)، به دست می آوریم.

بیایید فرمول های به دست آمده را برای محاسبه و در مثال بیمه خودرو اعمال کنیم (شکل 2.2). از آنجایی که تابع چگالی r.v. شرط با فرمول بیان می شود

علاوه بر این P (B = 2000 | I = 1)= 0.1، داریم

در نهایت با فرض q= 0.15، از فرمول های (2.25) و (2.26) برابری های زیر را به دست می آوریم:

برای توصیف وضعیت بیمه متفاوت، می توانید مدل های دیگری را برای s.v ارائه دهید. ...

مثال: مدل تعداد تلفات ناشی از سقوط هواپیما

به عنوان مثال، مدلی را برای تعداد تلفات ناشی از سوانح هوایی در یک دوره یک ساله عملیات هواپیمایی در نظر بگیرید.

می‌توانیم با یک مقدار تصادفی شروع کنیم که تعداد مرگ‌ها را برای یک پرواز توصیف می‌کند، و سپس آن مقادیر تصادفی را در تمام پروازها در طول سال اضافه کنیم.

برای یک پرواز، رویداد شروع یک سقوط هواپیما را نشان می دهد. تعداد تلفات ناشی از این فاجعه با حاصل ضرب دو مقدار تصادفی نشان داده خواهد شد و اینکه ضریب اشغال هواپیما، یعنی تعداد سرنشینان هواپیما در زمان سقوط کجاست و نسبت آن است. مرگ و میر در میان سرنشینان هواپیما

تعداد مرگ و میرها دقیقاً به این صورت ارائه می شود، زیرا آمارهای جداگانه برای مقادیر و در دسترس تر از آمار برای r.v است. ... بنابراین، اگرچه نسبت مرگ و میر در بین افراد داخل هواپیما و تعداد افراد داخل هواپیما احتمالاً مرتبط هستند، به عنوان اولین تقریب، می‌توانیم فرض کنیم که r.v. و مستقل

مجموع متغیرهای تصادفی مستقل

در مدل ریسک فردی، مزایای پرداخت شده توسط شرکت بیمه به عنوان مبلغ پرداختی به بسیاری از افراد ارائه می شود.

اجازه دهید دو روش برای تعیین توزیع مجموع متغیرهای تصادفی مستقل را به یاد بیاوریم. اجازه دهید ابتدا مجموع دو متغیر تصادفی را در نظر بگیریم که فضای نمونه آنها در شکل 1 نشان داده شده است. 3.1.

برنج. 2.3.1. رویداد

خط و ناحیه زیر این خط نشان دهنده یک رویداد است. بنابراین تابع توزیع r.v. اسدارای فرم (3.1)

برای دو متغیر تصادفی گسسته غیر منفی، می توانیم از فرمول احتمال کل استفاده کنیم و (3.1) را به شکل بنویسیم.

اگر ایکسو Yمستقل هستند، جمع آخر را می توان به صورت بازنویسی کرد

(3.3)

تابع احتمال مربوط به این تابع توزیع را می توان با فرمول پیدا کرد

(3.4)

برای متغیرهای تصادفی غیرمنفی پیوسته، فرمول های مربوط به فرمول های (3.2)، (3.3)، و (3.4) دارای شکل هستند.

وقتی یکی یا هر دو متغیر تصادفی ایکسو Yدارای توزیع مختلط (که برای مدل های ریسک فردی معمول است)، فرمول ها مشابه هستند، اما دست و پا گیرتر هستند. برای متغیرهای تصادفی، که می‌توانند مقادیر منفی نیز بگیرند، مجموع و انتگرال‌های موجود در فرمول‌های بالا بر روی تمام مقادیر y از تا گرفته می‌شوند.

در تئوری احتمال، عمل در فرمول های (3.3) و (3.6) را کانولوشن دو تابع توزیع می نامند و با و نشان می دهند. عمل کانولوشن را می توان برای یک جفت توابع احتمال یا توابع چگالی با استفاده از فرمول های (3.4) و (3.7) نیز تعریف کرد.

برای تعیین توزیع مجموع بیش از دو متغیر تصادفی، می‌توان از تکرارهای فرآیند کانولوشن استفاده کرد. برای ، جایی که متغیرهای تصادفی مستقل هستند، نشان دهنده تابع توزیع r.v. و تابع توزیع r.v است. ، میگیریمش

مثال 3.1 این روش را برای سه متغیر تصادفی گسسته نشان می دهد.

مثال 3.1.متغیرهای تصادفی، مستقل و دارای توزیع هستند که با ستون های (1)، (2) و (3) جدول زیر تعیین می شوند.

اجازه دهید تابع احتمال و تابع توزیع r.v را بنویسیم.

راه حل.جدول از عناوین معرفی شده قبل از مثال استفاده می کند:

ستون (1) - (3) حاوی اطلاعات موجود است.

ستون (4) از ستون های (1) و (2) با استفاده از (3.4) به دست می آید.

ستون (5) از ستون های (3) و (4) با استفاده از (3.4) به دست می آید.

تعیین ستون (5) تعیین تابع احتمال برای r.v را کامل می کند. ... تابع توزیع آن در ستون (8) مجموعه ای از مجموع جزئی ستون (5) است که از بالا شروع می شود.

برای وضوح، ما ستون (6)، تابع توزیع برای ستون (1)، ستون (7) را وارد کرده ایم که می توان مستقیماً از ستون های (1) و (6)، اعمال (2.3.3) و ستون () به دست آورد. 8) به طور مشابه برای ستون های (3) و (7) تعریف شده است. ستون (5) را می توان از ستون (8) با تفریق متوالی تعیین کرد.

بیایید به بررسی دو مثال با متغیرهای تصادفی پیوسته ادامه دهیم.

مثال 3.2.اجازه دهید r.v. توزیع یکنواختی در بازه (0،2) دارد و اجازه دهید r.v. به r.v بستگی ندارد. و روی بازه (0.3) توزیع یکنواخت دارد. اجازه دهید تابع توزیع r.v را تعریف کنیم.

راه حل.از آنجایی که توزیع های r.v. و پیوسته هستند، از فرمول (3.6) استفاده می کنیم:

سپس

فضای نمونه s.v. و در شکل نشان داده شده است. 3.2. ناحیه مستطیلی شامل تمام مقادیر ممکن جفت و. رویداد مورد علاقه ما،، در شکل برای پنج مقدار نشان داده شده است س.

برای هر مقدار، خط از محور عبور می کند Yدر نقطه سو یک خط مستقیم در یک نقطه. مقادیر تابع برای این پنج مورد با فرمول زیر توصیف می شود:

برنج. 3.2. پیچیدگی دو توزیع یکنواخت

مثال 3.3.سه r.v مستقل را در نظر بگیرید. ... برای s.v. دارای توزیع نمایی و. اجازه دهید تابع چگالی r.v را پیدا کنیم. با اعمال عملیات پیچیدگی

راه حل.ما داریم

با استفاده از فرمول (3.7) سه بار دریافت می کنیم

روش دیگر برای تعیین توزیع مجموع متغیرهای تصادفی مستقل بر اساس منحصر به فرد بودن تابع گشتاور مولد است که برای r.v. با نسبت تعیین می شود .

اگر این انتظار برای همه محدود است تیاز برخی بازه های باز حاوی مبدا، پس تنها تابع تولید کننده لحظه های توزیع r.v است. به این معنا که هیچ تابع دیگری غیر از تابعی که تابع مولد گشتاورهای توزیع r.v باشد وجود ندارد. ...

این منحصر به فرد می تواند به صورت زیر استفاده شود: برای مجموع

اگر مستقل باشد، انتظار ریاضی از محصول در فرمول (3.8) است ...، بنابراین

یافتن یک عبارت صریح برای آن توزیع منحصربه‌فرد که با تابع مولد گشتاورها (3.9) مطابقت دارد، تعیین توزیع r.v را کامل می‌کند. ... اگر نمی توان به طور صریح آن را نشان داد، می توانید آن را با روش های عددی جستجو کنید.

مثال 3.4... متغیرهای تصادفی از مثال 3.3 را در نظر بگیرید. اجازه دهید تابع چگالی r.v را تعریف کنیم. ، با استفاده از تابع تولید ممان های r.v. ...

راه حل.با توجه به برابری (3.9)، که می تواند به صورت نوشته شود با استفاده از روش تجزیه به کسرهای ساده. راه حل این است ... اما تابع مولد گشتاورهای توزیع نمایی با یک پارامتر است، به طوری که تابع چگالی r.v. فرم را دارد

مثال 3.5... در مطالعه فرآیندهای تصادفی، توزیع گاوسی معکوس معرفی شد. به عنوان توزیع r.v استفاده می شود. V، میزان پرداختی بیمه. تابع چگالی و تابع مولد گشتاورهای توزیع گاوسی معکوس با فرمول ها داده شده است.

بیایید توزیع r.v را پیدا کنیم. جایی که r.v. مستقل هستند و توزیع گاوسی معکوس یکسانی دارند.

راه حل.با استفاده از فرمول (3.9)، عبارت زیر را برای تابع تولید ممان r.v به دست می آوریم. :

تابع مولد گشتاورها مربوط به یک توزیع منفرد است و می توان مطمئن شد که دارای توزیع گاوسی معکوس با پارامترهای و.

تقریبی برای توزیع مجموع

قضیه حد مرکزی روشی را برای یافتن مقادیر عددی برای توزیع مجموع متغیرهای تصادفی مستقل ارائه می دهد. معمولاً این قضیه برای مجموع متغیرهای تصادفی مستقل و با توزیع یکسان فرموله می شود، که در آن .

برای هر n، توزیع r.v. کجا = ، دارای انتظار ریاضی 0 و واریانس 1 است. مشخص است که دنباله چنین توزیع هایی (برای n= 1، 2، ...) به توزیع نرمال استاندارد تمایل دارد. چه زمانی nعالی است این قضیه برای تقریب توزیع r.v اعمال می شود. توزیع نرمال با میانگین μ و واریانس به طور مشابه، توزیع مجموع nمتغیرهای تصادفی با توزیع نرمال با میانگین و واریانس تقریب می‌شوند.

کارایی چنین تقریبی نه تنها به تعداد عبارت‌ها، بلکه به نزدیکی توزیع عبارت‌ها به حالت عادی بستگی دارد. بسیاری از دروس آمار ابتدایی نشان می دهند که n باید حداقل 30 باشد تا تقریب منطقی باشد.

با این حال، یکی از برنامه‌های تولید متغیرهای تصادفی با توزیع نرمال که در شبیه‌سازی استفاده می‌شود، یک متغیر تصادفی نرمال را در قالب میانگین 12 متغیر تصادفی مستقل که به طور یکنواخت در بازه زمانی (0،1) توزیع شده‌اند، تحقق می‌بخشد.

در بسیاری از مدل‌های ریسک‌های فردی، متغیرهای تصادفی موجود در مبالغ به طور مساوی توزیع نمی‌شوند. این موضوع با مثال هایی در بخش بعدی توضیح داده خواهد شد.

قضیه حد مرکزی نیز به دنباله هایی از متغیرهای تصادفی توزیع نابرابر گسترش می یابد.

برای نشان دادن برخی کاربردهای مدل ریسک فردی، از تقریب نرمال توزیع مجموع متغیرهای تصادفی مستقل برای به دست آوردن جواب های عددی استفاده خواهیم کرد. اگر ، سپس

و بیشتر، اگر s.v. پس مستقل

برای برنامه مورد نظر، ما فقط نیاز داریم:

• میانگین ها و واریانس های متغیرهای تصادفی را که زیان های فردی را مدل می کنند، بیابید.
• آنها را جمع کنید تا میانگین و واریانس زیان کل شرکت بیمه به دست آید.
• از زوم معمولی استفاده کنید

در زیر این توالی اقدامات را نشان خواهیم داد.

درخواست های بیمه

این بخش استفاده از تقریب عادی را با چهار مثال نشان می دهد.

مثال 5.1.یک شرکت بیمه عمر قرارداد بیمه فوت یک ساله را با پرداخت های 1 و 2 واحدی به افراد با احتمال فوت 0.02 یا 0.01 ارائه می دهد. جدول زیر تعداد افراد را نشان می دهد nkدر هر یک از چهار کلاس تشکیل شده مطابق با پرداخت b kو احتمال وقوع یک رویداد بیمه شده است q k:

ک	q k	b k	n k
1	0,02	1	500
2	0,02	2	500
3	0,10	1	300
4	0,10	2	500

شرکت بیمه می خواهد از این گروه 1800 نفری مبلغی معادل صدک 95 توزیع کل مبلغ مزایای بیمه ای این گروه دریافت کند. علاوه بر این، او می خواهد که سهم هر فرد از این مبلغ متناسب با میزان سود مورد انتظار بیمه برای آن شخص باشد.

سهم شخص با عددی که میانگین پرداختی آن برابر است باید باشد. از شرط صدک 95 نتیجه می شود که. مقدار مازاد، حق بیمه ریسک است و به آن حق بیمه نسبی می گویند. بیا بشماریم.

راه حل.مقدار با نسبت تعیین می شود = 0.95، که در آن S = X 1 + X 2 + ... + X 1800.این عبارت احتمال معادل عبارت زیر است:

مطابق با آنچه در مورد قضیه حد مرکزی در Sec. 4، توزیع r.v را تقریبی می کنیم. توزیع نرمال استاندارد و استفاده از صدک 95 آن، که به دست می دهد:

برای چهار طبقه ای که بیمه شدگان به آنها تقسیم می شوند، نتایج زیر را دریافت می کنیم:

ک	q k	b k	میانگین b k q k	واریانس b 2 k q k (1-q k)	n k
1	0,02	1	0,02	0,0196	500
2	0,02	2	0,04	0,0784	500
3	0,10	1	0,10	0,0900	300
4	0,10	2	0,20	0,3600	500

به این ترتیب،

بنابراین، حق بیمه ریسک نسبی است

مثال 5.2.مشتریان شرکت بیمه خودرو به دو دسته تقسیم می شوند:

کلاس	شماره در کلاس	احتمال وقوع رویداد بیمه شده	توزیع پرداختی بیمه پارامترهای نمایی کوتاه شده توزیع
ک				L
1	500	0,10	1	2,5
2	2000	0,05	2	5,0

توزیع نمایی کوتاه شده توسط تابع توزیع تعیین می شود

این یک توزیع مخلوط با تابع چگالی است و یک "دسته" از جرم احتمالی در نقطه L... نمودار این تابع توزیع در شکل 5.1 نشان داده شده است.

برنج. 5.1. توزیع نمایی کوتاه شده

مانند قبل، احتمال اینکه کل مبلغ پرداختی بیمه بیش از مبلغ دریافتی از بیمه شدگان باشد باید برابر با 05/0 باشد. ما فرض می کنیم که حق بیمه نسبی ریسک باید در هر یک از دو کلاس در نظر گرفته شده یکسان باشد. بیایید محاسبه کنیم.

راه حل.این مثال بسیار شبیه به نمونه قبلی است. تنها تفاوت این است که مقادیر پرداخت های بیمه اکنون متغیرهای تصادفی هستند.

ابتدا، عباراتی را برای ممان های توزیع نمایی کوتاه شده به دست می آوریم. این یک مرحله مقدماتی برای اعمال فرمول های (2.25) و (2.26) خواهد بود:

با استفاده از مقادیر پارامترهای داده شده در شرط و با استفاده از فرمول های (2.25) و (2.26)، نتایج زیر را به دست می آوریم:

ک	q k	μ k	σ 2 k	میانگین q k μ k	واریانس μ 2 k q k (1-q k) + σ 2 k q k	n k
1	0,10	0,9139	0,5828	0,09179	0,13411	500
2	0,05	0,5000	0,2498	0,02500	0,02436	2000

بنابراین، اس، کل مبلغ پرداختی بیمه، دارای امتیاز می باشد

شرط تعریف مانند مثال 5.1 باقی می ماند، یعنی:

با استفاده مجدد از تقریب توزیع نرمال، به دست می آوریم

مثال 5.3.پرتفوی شرکت بیمه شامل 16000 قرارداد بیمه فوت به مدت یکسال مطابق جدول زیر می باشد.

احتمال وقوع یک رویداد بیمه شده q برای هر یک از 16000 مشتری (این رویدادها مستقل از یکدیگر فرض می شوند) 0.02 است. این شرکت می خواهد نرخ نگهداری خود را تعیین کند. برای هر بیمه شده، سطح خودنگهداری ارزشی است که کمتر از آن این شرکت (شرکت واگذارنده) به تنهایی پرداخت ها را انجام می دهد و پرداخت های بیش از این ارزش تحت یک قرارداد بیمه اتکایی توسط شرکت دیگری (بیمه گر اتکایی) پوشش داده می شود.

به عنوان مثال، اگر سطح خود کسر 200000 باشد، شرکت تا سقف 20000 پوشش برای هر بیمه‌گذار ذخیره می‌کند و برای پوشش مابه‌التفاوت حق بیمه و مبلغ 20000 برای هر یک از 4500 بیمه‌گذار که مزایای بیمه آنها بیش از 20000 است، بیمه اتکایی می‌خرد. ....

به عنوان معیاری برای تصمیم گیری، شرکت انتخاب می کند تا احتمال اینکه پرداخت های بیمه باقی مانده از کسر خود به اضافه مبلغ پرداختی برای بیمه اتکایی از مبلغ 8250000 تجاوز کند را به حداقل برساند. هزینه های بیمه اتکایی 0.025 در هر واحد پوشش (یعنی 125٪ از میزان مورد انتظار پرداخت بیمه در واحد 0.02).

ما معتقدیم که پرتفوی مورد بررسی بسته شده است: قراردادهای بیمه جدید منعقد شده در سال جاری در فرآیند تصمیم گیری شرح داده شده لحاظ نخواهد شد.

راه حل جزئی بیایید ابتدا تمام محاسبات را انجام دهیم و 10000 در هر واحد پرداخت را انتخاب کنیم.به عنوان مثال، فرض کنید که c. v اسمبلغ پرداختی است که در کسر خود باقی مانده است، به شکل زیر است:

به این مزایای بیمه ای خودسرانه اس، مبلغ حق بیمه اتکایی اضافه می شود. در مجموع، کل پوشش برای این طرح است

مقدار باقی مانده در کسر خود برابر است

بنابراین، کل مبلغ بیمه اتکایی 35000-24000 = 11000 و هزینه بیمه اتکایی برابر است با

به این معنی که با سطح خود کسر برابر با 2، پرداخت های بیمه باقی مانده از کسر خود به اضافه هزینه بیمه اتکایی است. معیار تصمیم گیری بر اساس احتمال فراتر رفتن این مجموع از 825 است.

با استفاده از توزیع نرمال، متوجه می شویم که این مقدار تقریباً 0.0062 است.

مقادیر متوسط ​​پرداخت های بیمه در هنگام بیمه مازاد زیان دهی، به عنوان یکی از انواع بیمه های اتکایی، با استفاده از توزیع نرمال به عنوان توزیع کل پرداخت های بیمه قابل تقریب است.

اجازه دهید مجموع پرداخت های بیمه X دارای توزیع نرمال با میانگین و واریانس باشد

مثال 5.4.یک پرتفوی بیمه را مانند مثال 5.3 در نظر بگیرید. اجازه دهید انتظار ریاضی ارزش پرداختی های بیمه تحت یک قرارداد بیمه را برای نسبت مازاد خسارت پیدا کنیم، اگر

(الف) بیمه اتکایی انفرادی وجود ندارد و فرانشیز بدون قید و شرط 7500000 تعیین شده است.

ب) کسر 20000 برای قراردادهای بیمه فردی و کسر پرتفوی بدون قید و شرط 5300000 وجود دارد.

راه حل.

الف) در صورت عدم وجود بیمه اتکایی فردی و در حال گذار به 10000 به عنوان ارز

استفاده از فرمول (5.2) می دهد

که بالغ بر 43770 واحد اصلی می باشد.

(ب) در مثال 5.3، میانگین و واریانس کل مبلغ پرداختی بیمه را در سطح فردی خودنگهداری 20000، به ترتیب برابر با 480 و 784 به دست آوردیم، اگر 10000 را به عنوان یک واحد در نظر بگیریم. بنابراین = 28.

استفاده از فرمول (5.2) می دهد

که مجموع 4140 واحد اصلی است.

ما از روش کلی بالا برای حل یک مسئله استفاده خواهیم کرد، یعنی قانون توزیع را برای مجموع دو متغیر تصادفی پیدا کنیم. یک سیستم از دو متغیر تصادفی (X, Y) با چگالی توزیع f (x,y) وجود دارد. مجموع متغیرهای تصادفی X و Y را در نظر بگیرید و قانون توزیع کمیت Z را پیدا کنید. برای این کار، یک خط در صفحه xOy می سازیم که معادله آن است (شکل 7). این یک خط مستقیم است که بخش هایی برابر با z را در محورها قطع می کند. خط مستقیم صفحه xOy را به دو قسمت تقسیم می کند. سمت راست و بالای او؛ سمت چپ و پایین.

منطقه D در این مورد، قسمت پایین سمت چپ صفحه xOy است که در شکل 2 سایه زده شده است. 7. طبق فرمول (16) داریم:

با تمایز این عبارت با توجه به متغیر z موجود در حد بالایی انتگرال داخلی، به دست می‌آییم:

این یک فرمول کلی برای چگالی توزیع مجموع دو متغیر تصادفی است.

به دلایل تقارن مسئله نسبت به X و Y، می توانید نسخه دیگری از همان فرمول را بنویسید:

که معادل اولی است و به جای آن می توان از آن استفاده کرد.

نمونه ای از ترکیب قوانین عادی. دو متغیر تصادفی مستقل X و Y را که تابع قوانین عادی هستند در نظر بگیرید:

لازم است ترکیبی از این قوانین ایجاد شود، یعنی قانون توزیع کمیت:.

بیایید فرمول کلی را برای ترکیب قوانین توزیع اعمال کنیم:

اگر پرانتزهای نماگر انتگرال را باز کنیم و عبارت های مشابه بیاوریم، به دست می آید:

جایگزین کردن این عبارات به فرمولی که قبلاً با آن مواجه شده ایم

پس از تحولات بدست می آوریم:

و این چیزی بیش از یک قانون عادی با مرکز پراکندگی نیست

و انحراف معیار

با استفاده از استدلال کیفی زیر می توان به همین نتیجه بسیار ساده تر رسید.

بدون باز کردن پرانتزها و بدون ایجاد تبدیل در انتگرال (17)، بلافاصله به این نتیجه می رسیم که توان یک مثلث مربعی نسبت به x شکل است.

در جایی که مقدار z به هیچ وجه در ضریب A لحاظ نمی شود، در ضریب B در درجه اول و در ضریب C - در مربع قرار می گیرد. با در نظر گرفتن این موضوع و با استفاده از فرمول (18)، به این نتیجه می رسیم که g (z) یک تابع نمایی است که توان آن نسبت به z و چگالی توزیع یک مثلث مربع است. این نوع با قانون عادی مطابقت دارد. بنابراین، ما؛ ما به یک نتیجه کاملاً کیفی می رسیم: قانون توزیع کمیت z باید نرمال باشد. برای یافتن پارامترهای این قانون - و - از قضیه جمع انتظارات ریاضی و قضیه جمع واریانس استفاده می کنیم. با قضیه جمع انتظارات ریاضی. با قضیه جمع واریانس ها یا از کدام فرمول (20) پیروی می کند.

با عبور از انحرافات استاندارد به انحرافات احتمالی متناسب با آنها، دریافت می کنیم:.

بنابراین، به قاعده زیر رسیدیم: هنگام تنظیم قوانین عادی، دوباره یک قانون نرمال به دست می آید و انتظارات و واریانس های ریاضی (یا مجذور انحرافات احتمالی) خلاصه می شوند.

قانون ترکیب برای قوانین عادی را می توان به تعداد دلخواه متغیرهای تصادفی مستقل تعمیم داد.

اگر n متغیر تصادفی مستقل وجود داشته باشد: تابع قوانین نرمال با مراکز پراکندگی و انحراف معیار، آنگاه کمیت نیز تابع قانون نرمال با پارامترها است.

به جای فرمول (22)، می توان از یک فرمول معادل استفاده کرد:

اگر سیستم متغیرهای تصادفی (X, Y) طبق قانون عادی توزیع شده باشد، اما مقادیر X، Y وابسته باشند، اثبات آن مانند قبل آسان است. فرمول کلی(6.3.1) که قانون توزیع کمیت نیز یک قانون عادی است. مراکز پراکندگی همچنان به صورت جبری اضافه می شوند، اما برای انحرافات استاندارد، قانون پیچیده تر می شود:، جایی که، r ضریب همبستگی X و Y است.

هنگام اضافه کردن چندین متغیر تصادفی وابسته، که در مجموع آنها تابع قانون نرمال هستند، قانون توزیع مجموع نیز با پارامترها نرمال می شود.

یا در انحرافات احتمالی

ضریب همبستگی مقادیر X i، X j کجاست و جمع برای همه ترکیب‌های مختلف دوتایی مقادیر اعمال می‌شود.

ما به یک ویژگی بسیار مهم قانون عادی متقاعد شده ایم: وقتی قوانین عادی تشکیل می شوند، قانون عادی دوباره به دست می آید. این به اصطلاح «خاصیت ثبات» است. یک قانون توزیع پایدار نامیده می شود اگر ترکیب دو قانون از این نوع دوباره به قانونی از همان نوع منجر شود. ما در بالا نشان دادیم که قانون عادی پایدار است. تعداد بسیار کمی از قوانین توزیع دارای خاصیت ثبات هستند. قانون چگالی یکنواخت ناپایدار است: با ترکیب دو قانون چگالی یکنواخت در مقاطع 0 تا 1، قانون سیمپسون را به دست آوردیم.

پایداری یک قانون عادی یکی از شرایط ضروری برای انتشار گسترده آن در عمل است. با این حال، خاصیت پایداری، علاوه بر نرمال، در برخی قوانین توزیع دیگر نیز وجود دارد. یکی از ویژگی های قانون عادی این است که با ترکیب تعداد زیادی از قوانین توزیع عملاً دلخواه، قانون کل به طور دلخواه نزدیک به نرمال است، صرف نظر از اینکه قوانین توزیع اصطلاحات چه بوده است. این را می توان برای مثال با ترکیب سه قانون چگالی یکنواخت در مقاطع 0 تا 1 نشان داد. قانون توزیع حاصل g (z) در شکل نشان داده شده است. 8. همانطور که از رسم مشخص است، نمودار تابع g (z) بسیار شبیه به نمودار قانون عادی است.

در عمل، اغلب لازم است قانون توزیع برای مجموع متغیرهای تصادفی پیدا شود.

بگذار یک سیستم وجود داشته باشد (X b X 2)دو ج پیوسته v و مجموع آنها

بگذارید چگالی توزیع را با آن پیدا کنیم. v U. مطابق با راه حل کلی پاراگراف قبل، مساحت هواپیما را پیدا می کنیم که در آن قرار دارد x + x 2 (شکل 9.4.1):

با تمایز این عبارت با توجه به y، p. P را بدست می آوریم. متغیر تصادفی Y = X + X 2:

از آنجایی که تابع φ (xb x 2) = Xj + x 2 نسبت به آرگومان های خود متقارن است، پس

اگر با. v ایکسو ایکس 2 مستقل هستند، سپس فرمول های (9.4.2) و (9.4.3) به شکل زیر هستند:

در موردی که s های مستقل اضافه شوند. v X xو X 2،در مورد ترکیب قوانین توزیع صحبت کنید. برای تولید ترکیب بندیدو قانون توزیع - این به معنای یافتن قانون توزیع مجموع دو s مستقل است. بر اساس این قوانین توزیع شده است. برای نشان دادن ترکیب قوانین توزیع، از نماد نمادین استفاده می شود

که در اصل فرمول های (9.4.4) یا (9.4.5) را نشان می دهند.

مثال 1. کار دو دستگاه فنی (TU) در نظر گرفته شده است. ابتدا TU کار می کند پس از شکست (شکست) آن در کار TU 2 گنجانده شده است. Uptime TU L TU 2 - X xو ایکس 2 - مستقل هستند و بر اساس قوانین نمایی با پارامترهای A، 1 و توزیع شده اند X 2.از این رو زمان Yعملکرد بدون مشکل مشخصات فنی، متشکل از مشخصات فنی! و TU 2 با فرمول تعیین خواهد شد

لازم است p. P را پیدا کنید. متغیر تصادفی Y،یعنی ترکیبی از دو قانون نمایی با پارامترها و X 2.

راه حل. با فرمول (9.4.4)، ما (y> 0) را بدست می آوریم.

اگر ترکیبی از دو قانون نمایی با پارامترهای یکسان وجود داشته باشد (? Q = ایکس 2 = Y)، سپس در عبارت (9.4.8) یک عدم قطعیت از نوع 0/0 به دست می آید، که نشان می دهد، به دست می آوریم:

با مقایسه این عبارت با عبارت (6.4.8)، ما متقاعد شدیم که ترکیب دو قانون نمایی یکسان (? Q = ایکس 2 = ایکس)قانون ارلنگ مرتبه دوم است (9.4.9). هنگام نوشتن دو قانون نمایی با پارامترهای مختلف X xو A-2 دریافت کنید قانون ارلنگ مرتبه دوم تعمیم یافته است (9.4.8). ?

مسئله 1. قانون توزیع اختلاف دو s. v سیستم با. v (X و X 2)دارای p.p./ (x, x 2) مشترک است. P. P. تفاوت های آنها Y = X - X 2.

راه حل. برای سیستم با. v (X b - X 2)و غیره. خواهد بود / (x b - x 2)یعنی مابه التفاوت را با جمع جایگزین کرده ایم. در نتیجه، ص. متغیر تصادفی Ub شکل خواهد داشت (نگاه کنید به (9.4.2)، (9.4.3)):

اگر با. v X x uX 2 پس مستقل

مثال 2. ص را پیدا کنید. تفاوت دو s مستقل که به صورت نمایی توزیع شده اند. v با پارامترها X xو X 2.

راه حل. با فرمول (9.4.11)، به دست می آوریم

برنج. 9.4.2 برنج. 9.4.3

شکل 9.4.2 صفحه را نشان می دهد. g(y). اگر تفاوت دو s مستقل را که به صورت نمایی توزیع شده در نظر بگیریم. v با همین پارامترها (A-i= ایکس 2 = آ،)،سپس g(y) = / 2 - قبلاً آشناست

قانون لاپلاس (شکل 9.4.3). ?

مثال 3. قانون توزیع را برای مجموع دو s مستقل بیابید. v ایکسو X 2،بر اساس قانون پواسون با پارامترها توزیع می شود تبرو یک 2.

راه حل. احتمال یک رویداد را بیابید (X x + ایکس 2 = t) (t = 0, 1,

در نتیجه، ص. v Y = X x + ایکس 2 بر اساس قانون پواسون با پارامتر توزیع شده است a x2) - a x + a 2. ?

مثال 4. قانون توزیع مجموع دو s مستقل را بیابید. v X xو X 2،بر اساس قوانین دوجمله ای با پارامترها توزیع می شود n x ri n 2، pبه ترتیب.

راه حل. بیایید تصور کنیم s. v X xمانند:

جایی که X 1) -نشانگر رویداد آتجربه وو:

سریال توزیع با. v X، - فرم دارد

ما یک نمایش مشابه برای p ایجاد خواهیم کرد. v X 2:جایی که X] 2) - نشانگر رویداد آدر تجربه y:

از این رو،

X کجاست؟ 1) + (2) اگر نشانگر رویداد آ:

بنابراین، ما نشان دادیم که با. v مبلغ پدرشوهر (u + n 2)شاخص های رویداد آ، از آنجا نتیجه می شود که ج. v ^ طبق قانون دوجمله ای با پارامترهای ( n x + n 2)، ص.

توجه داشته باشید که اگر احتمالات آردر سری های مختلف آزمایش ها متفاوت هستند، سپس در نتیجه اضافه شدن دو عدد مستقل. در، توزیع شده بر اساس قوانین دوجمله ای، ما s را دریافت می کنیم. در، توزیع شده بر اساس قانون دوجمله ای نیست. ?

مثال های 3 و 4 را می توان به راحتی به تعداد دلخواه اصطلاح تعمیم داد. هنگام نوشتن قوانین پواسون با پارامترها a b a 2، ..., و تیدوباره قانون پواسون را با پارامتر دریافت می کنیم a (t) = a x + a 2 + ... + و غیره

هنگام نوشتن قوانین دو جمله ای با پارامترها (n ь ص) (من 2 ساله هستم، ر) , (nt, p)قانون دو جمله ای با پارامترهای («(«)، ر)جایی که n (t) = n + n 2 + ... + n t.

ما ویژگی های مهم قانون پواسون و قانون دوجمله ای را ثابت کرده ایم: "ویژگی پایداری". قانون توزیع نامیده می شود پایدار،اگر ترکیب دو قانون از یک نوع منجر به قانونی از یک نوع شود (فقط پارامترهای این قانون متفاوت است). در بخش 9.7 نشان می‌دهیم که قانون عادی دارای خاصیت پایداری یکسانی است.

ما از روش کلی بالا برای حل یک مسئله استفاده خواهیم کرد، یعنی قانون توزیع را برای مجموع دو متغیر تصادفی پیدا کنیم. یک سیستم از دو متغیر تصادفی (X, Y) با چگالی توزیع f (x,y) وجود دارد.

مجموع متغیرهای تصادفی X و Y را در نظر بگیرید و قانون توزیع کمیت Z را پیدا کنید. برای این کار، یک خط در صفحه xOy می سازیم که معادله آن است. (شکل 6.3.1). این یک خط مستقیم است که بخش هایی برابر با z را در محورها قطع می کند. سر راست صفحه xOy را به دو قسمت تقسیم می کند. سمت راست و بالای او ; سمت چپ و پایین

منطقه D در این مورد، قسمت پایین سمت چپ صفحه xOy است که در شکل 2 سایه زده شده است. 6.3.1. طبق فرمول (6.3.2) داریم:

این یک فرمول کلی برای چگالی توزیع مجموع دو متغیر تصادفی است.

به دلایل تقارن مسئله نسبت به X و Y، می توانید نسخه دیگری از همان فرمول را بنویسید:

لازم است ترکیبی از این قوانین ایجاد شود، یعنی قانون توزیع کمیت:.

بیایید فرمول کلی را برای ترکیب قوانین توزیع اعمال کنیم:

جایگزین کردن این عبارات به فرمولی که قبلاً با آن مواجه شده ایم

و این چیزی بیش از یک قانون عادی با مرکز پراکندگی نیست

با استفاده از استدلال کیفی زیر می توان به همین نتیجه بسیار ساده تر رسید.

بدون باز کردن پرانتزها و بدون ایجاد تبدیل در انتگرال (6.3.3)، بلافاصله به این نتیجه می رسیم که توان یک مثلث مربعی نسبت به x شکل است.

در جایی که مقدار z به هیچ وجه در ضریب A لحاظ نمی شود، در ضریب B در درجه اول و در ضریب C - در مربع قرار می گیرد. با در نظر گرفتن این موضوع و با استفاده از فرمول (6.3.4)، به این نتیجه می رسیم که g (z) یک تابع نمایی است که توان آن نسبت به z و چگالی توزیع یک مثلث مربع است. این نوع با قانون عادی مطابقت دارد. بنابراین، ما؛ ما به یک نتیجه کاملاً کیفی می رسیم: قانون توزیع کمیت z باید نرمال باشد. برای یافتن پارامترهای این قانون - و - از قضیه جمع انتظارات ریاضی و قضیه جمع واریانس استفاده خواهیم کرد. با قضیه جمع انتظارات ریاضی ... با قضیه جمع واریانس یا از آنجا فرمول (6.3.7) به شرح زیر است.

با عبور از انحرافات استاندارد به انحرافات احتمالی متناسب با آنها، دریافت می کنیم:
.

بنابراین، به قاعده زیر رسیدیم: هنگام تنظیم قوانین عادی، دوباره یک قانون نرمال به دست می آید و انتظارات و واریانس های ریاضی (یا مجذور انحرافات احتمالی) خلاصه می شوند.

قانون ترکیب برای قوانین عادی را می توان به تعداد دلخواه متغیرهای تصادفی مستقل تعمیم داد.

اگر n متغیر تصادفی مستقل وجود داشته باشد: تابع قوانین نرمال با مراکز پراکندگی و انحراف معیار، آنگاه کمیت نیز تابع قانون نرمال با پارامترها است.

اگر سیستم متغیرهای تصادفی (X, Y) بر اساس قانون عادی توزیع شده باشد، اما مقادیر X، Y وابسته باشند، اثبات آن مانند قبل، بر اساس فرمول کلی (6.3.1) دشوار نیست. ، که قانون توزیع کمیت نیز یک قانون عادی است. مراکز پراکندگی همچنان به صورت جبری اضافه می شوند، اما برای انحرافات استاندارد، قانون پیچیده تر می شود: ، جایی که r ضریب همبستگی مقادیر X و Y است.

هنگام اضافه کردن چندین متغیر تصادفی وابسته، که در مجموع آنها تابع قانون نرمال هستند، قانون توزیع مجموع نیز با پارامترها نرمال می شود.

ضریب همبستگی مقادیر X i، X j کجاست و جمع برای همه ترکیب‌های مختلف دوتایی مقادیر اعمال می‌شود.

ما به یک ویژگی بسیار مهم قانون عادی متقاعد شده ایم: وقتی قوانین عادی تشکیل می شوند، قانون عادی دوباره به دست می آید. این به اصطلاح «خاصیت ثبات» است. یک قانون توزیع پایدار نامیده می شود اگر ترکیب دو قانون از این نوع دوباره به قانونی از همان نوع منجر شود. ما در بالا نشان دادیم که قانون عادی پایدار است. تعداد بسیار کمی از قوانین توزیع دارای خاصیت ثبات هستند. قانون چگالی یکنواخت ناپایدار است: با ترکیب دو قانون چگالی یکنواخت در مقاطع 0 تا 1، قانون سیمپسون را به دست آوردیم.

پایداری یک قانون عادی یکی از شرایط ضروری برای انتشار گسترده آن در عمل است. با این حال، خاصیت پایداری، علاوه بر نرمال، در برخی قوانین توزیع دیگر نیز وجود دارد. یکی از ویژگی های قانون عادی این است که با ترکیب تعداد زیادی از قوانین توزیع عملاً دلخواه، قانون کل به طور دلخواه نزدیک به نرمال است، صرف نظر از اینکه قوانین توزیع اصطلاحات چه بوده است. این را می توان برای مثال با ترکیب سه قانون چگالی یکنواخت در مقاطع 0 تا 1 نشان داد. قانون توزیع حاصل g (z) در شکل نشان داده شده است. 6.3.1. همانطور که از نقشه مشخص است، نمودار تابع g (z) بسیار شبیه به نمودار قانون عادی است.